Курс „Стереометрия”
В стереометрии пространственные фигуры иногда не обязательно рисовать – для их изучения достаточно найти координаты их вершин в выбранной системе координат.
Расположение точки на числовой прямой определяется одной координатой точки. На плоскости расположение точки определяется уже двумя координатами. А как определить положение точки в пространстве? Например, чтобы определить расположение летящего самолета относительно наблюдательной вышки аэропорта, требуется знать уже три координаты. На рисунке 2.39 самолет находится в данный момент на расстоянии 2 км от вышки Т в восточном направлении, на расстоянии 3 км в северном направлении и на высоте 4 км от поверхности земли. Таким образом, расположение самолета определяется тройкой чисел (2; 3; 4).
 Рис. 2.39 | ||||||
 Рис. 2.40 | ||||||
Рис. 2.41 |
||||||
Чтобы определить положение точки в пространстве, проведем через некоторую точку О пространства три попарно перпендикулярные координатные прямые – числовые оси Ох, Оу и Оz, называемые соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат (рис. 2.40). На каждой из осей выбраны направление (оно обозначается стрелкой) и единица измерения. На каждой из осей положительные числа расположены в положительном направлении относительно начала отсчета О, а отрицательные числа – в отрицательном направлении. Каждая из осей является числовой прямой – множество ее точек находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех действительных чисел. Любые две координатные оси определяют координатную плоскость. Три координатные плоскости обозначаются Оху, Охz и Оyz. Координатные плоскости разбивают пространство на восемь частей, называемых октантами (рис. 2.41). Таким образом получается прямоугольная система координат в пространстве.
Рассмотрим в пространстве произвольную точку А и проведем из этой точки перпендикулярные отрезки к осям координат (рис. 2.42). Концы этих отрезков, расположенные на осях координат, называются проекциями точки А на координатные оси. Проекции точки А на ось Ох соответствует ее координата х, которая является первой координатой точки А и называется абсциссой этой точки. Проекциям точки А на оси Оу и Оz cоответствуют их координаты у и z на этих осях, которые являются для точки А соответственно второй координатой, или ординатой, и третьей координатой, или аппликатой. Если координаты точки А есть числа х, у и z, то это записывается в виде А(х; у; z). Точка О(0; 0; 0) называется началом координат.
Рис. 2.42 |
||||||
Как видно на рисунке 2.42, отрезки, с помощью которых находят проекции точки на координатные оси, являются диагоналями трех граней некоторого прямоугольного параллелепипеда. Поэтому рисунок, поясняющий нахождение координат точки, можно сделать более наглядным. Такое построение позволяет изображать на чертеже точку, заданную своими координатами.
Пример.
Изобразим на чертеже точку A(–2; –3; 4).
Решение. Движения, необходимые для нахождения точки, отмечены векторами на рисунке 2.43. При этом векторы коллинеарны соответствующим координатным осям, их направление определяется знаком координаты, а длина – модулем этой координаты.
 Рис. 2.43 | ||||||
Упражнения
Точка | Октант |
A(2; –4; 3) | |
B(–1; –2; –5) | |
C(–8; 8; 8) | |
D(7; –2; –3) |
Точка | Октант |
E(–5; –4; 3) | |
F(1; 5; 7) | |
G(–6; 5; –4) | |
H(9; 7; 5) |
Октант | I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | |
Знак | абсцисса | + | |||||||
ордината | + | ||||||||
аппликата | + | ||||||||
Ответ: угол между отрезком AB и плоскостью Оxy равен
Ответ: угол между отрезком OA и плоскостью Оxy равен
Точка | Описание |
A(0; 1; –7) | |
B(–2; 0; 4) | |
C(–5; –4; 0) | |
D(0; 0; –2) | |
E(0; –5; 0) | |
F(8; 0; 0) |
- на некоторой координатной плоскости?
- на некоторой оси координат?
- до координатных плоскостей.
Ответ: расстояние от этой точки до плоскости Оxy равно, расстояние до плоскости Оxz – и до плоскости Оyz – . - до координатных осей.
Ответ: расстояние от этой точки до оси Оx равно, расстояние до оси Оy равно и до оси Оz – . - до начала координат.
Ответ: расстояние от этой точки до начала координат равно.
- Palvelun tarjoaa Star Cloud OÜ