Eksponentvõrratused

Kasvav ja kahanev funktsioon
Eksponentvõrratuse lahendamine
Muutuja vahetus võrratuses

Kasvav ja kahanev funktsioon

Kasvav, kahanev ning mittekasvav ja -kahanev

Funktsioonid võivad olla kasvavad või kahanevad kogu oma määramispiirkonnas. Selliseid funktsioone nimetatakse kasvavateks või kahanevateks. Analoogselt on mittekahanevad või mittekasvavad need funktsioonid, mis on mittekahanevad või mittekasvavad kogu määramispiirkonnas.

Näiteks

Eksponentfunktsioon y = a^x ja logaritmfunktsioon

y = log_a x on

kasvavad, kui alus on ühest suurem, st a > 1,

kahanevad, kui 0 < a < 1.

Eksponent- ja logaritmfunktsioon

Märka

a > 1

$\begin{array}{r} a^{x_{1}} < a^{x_{2}} \\ \log_{a} x_{1} < \log_{a} x_{2} \end{array}\} \Leftrightarrow x_{1} < x_{2}$

Kasvava funktsiooni väärtus kasvab, kui argumendi väärtus kasvab, ja kahaneb, kui argumendi väärtus kahaneb.

0 < a < 1

$\begin{array}{r} a^{x_{1}} < a^{x_{2}} \\ \log_{a} x_{1} < \log_{a} x_{2} \end{array}\} \Leftrightarrow x_{1} > x_{2}$

Kui kahaneva funktsiooni argumendi väärtus kasvab, siis funktsiooni väärtus kahaneb ja vastupidi.

Еще на эту тему

Eksponentvõrratus

Lahendamine

Eksponentvõrratuse

a^f^(x) * b (b > 0)

lahendamiseks rakendame võrratuse mõlemale poolele logaritmfunktsiooni alusel a, mis on eksponentfunktsiooni pöördfunktsiooniks.

Kui a > 1, saame võrratuse

$\log_{a} a^{f (x)} * \log_{a} b \Leftrightarrow f (x) * \log_{a} b .$

Kui 0 < a < 1,

siis asendub võrratuse märk * oma vastandmärgiga.

Märka

Kui a > 0, siis

$a^{x_{1}} < a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} < x_{2} .$

Kui 0 < a < 1, siis

$a^{x_{1}} < a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} > x_{2} .$

Analoogsed seosed kehtivad ka mitterangete võrratuste ≤ või ≥ korral.

Seega saame eksponentfunktsiooni väärtuste võrratuse teisendada argumendi võrratuseks, ning kui vaja, seda edasi lahendada.

Näide 1

Lahendame võrratuse $0, 2^{x^{2} + 3 x} > 25 .$

Esimene lahendus

$0, 2 = \frac{1}{5}$

$25 = 5^{2} = {(\frac{1}{5})}^{- 2} = 0, 2^{- 2}$

Kuna eksponentfunktsiooni alus on 0,2 < 1, siis on tegemist kahaneva funktsiooniga.

$0, 2^{x^{2} + 3 x} > 0, 2^{- 2}$

x² + 3x < –2 ⇔ x² + 3x + 2 < 0

Kujutame joonisel ruutvõrratuse lahendihulka.

Vastus

Lahendihulk L =(–2; –1).

Teisendame võrratuse pooled arvu 5 astmeteks.

Vasak pool: $0, 2^{x^{2} + 3 x} = {(\frac{1}{5})}^{x^{2} + 3 x} = 5^{x^{2}}$ .

Parem pool: 25 = $5^{}$ .

Kuna eksponentfunktsiooni alus on 5 > 1, siis on tegemist funktsiooniga.
Lahendame võrratuse

–x² – 3x > 2.
–x² – 3x < 2.

Vastus

Lahenduhulk L = (;).

Mõtle

Lahenda võrratus joonise põhjal.

(–∞; 1)
(1; ∞)
(–∞; 0)
(0; ∞)
(–∞; 0]
(3; ∞)
(–∞; 3)
ℝ
∅

Võrratus	Lahendihulk
2^x < 2
2^x > 8
2^x ≤ 1

(–∞; 1)
(1; ∞)
ℝ
[–1; ∞)
∅
(–∞; –1]
(–2; ∞)
(–∞; –2)

Võrratus	Lahendihulk
${(\frac{1}{3})}^{x} \geq 3$
${(\frac{1}{3})}^{x} < 9$
${(\frac{1}{3})}^{x} > \frac{1}{3}$

(–∞; 1)
(1; ∞)
ℝ
[–1; ∞)
(–∞; –1]
∅
(0; ∞)
(–∞; 0)

Võrratus	Lahendihulk
e^x > 1
e^x ≤ e^–1
e^x < 0

Näide 2

Lahendame võrratuse 3^5–2x ≤ 2.

Esimene lahendus

Võtame võrratuse mõlemast poolest logaritmi alusel 3.

$\log_{3} 3^{5 - 2 x} \leq \log_{3} 2$

Kasutame logaritmi omadust ja avaldame x.

(5 – 2x) ⋅ log₃ 3 ≤ log₃ 2

5 – 2x ≤ log₃ 2

2x ≥ 5 – log₃ 2

x ≥ 0,5(5 – log₃ 2)

Teine lahendus

Asendame paremal pool arvu 2 avaldisega

$3^{\log_{3} 2} .$

Sel juhul saame

$3^{5 - 2 x} \leq 3^{\log_{3} 2},$

millest

5 – 2x ≥ log₃ 2

ning

x ≥ 0,5(5 – log₃ 2).

Vastus

Võrratuse lahendihulk L = [0,5(5 – log₃ 2); ∞).

Еще на эту тему

Muutuja vahetus võrratuses

Näide 3

Lahendame võrratuse 4^x – 2^x+2 ≥ 21.

Lahendus

Kuna

4^x = (2²)^x = (2^x)²

ja 2^x+2 = 2^x ⋅ 2² = 4 ⋅ 2^x,

siis asendame 2^x = u ja saame ruutvõrratuse

u² – 4u – 21 ≥ 0.

Saame kaks võrratust:

1) u ≤ –3, millest 2^x ≤ –3 ei lahendu.

2) u ≥ 7, millest 2^x ≥ 7 ja x ≥ log₂ 7.

Vastus

Võrratuse lahendihulk on L = [log₂ 7; ∞).

Märka

Ühegi positiivse arvu aste ei saa olla mittepositiivne reaalarvude hulgas.

3²^x – 3^x ≥ 6

3^x
3^2x
+6
–6
–3
–2
1
3
2

Asenda a = .

Lahenda võrratus a² – a ≥ 0.
Saad kaks võrratust

1) a ≥ ,

2) a ≤ .

Võrratus nr ei lahendu.

Vastus

x

Еще на эту тему

Harjuta ja treeni

Graafiline lahendamine

Võrratus	Lahend
2^x < 8	x <
3^x < 8	x <
10^x < 8	x <
5x > 1	x >
8x > 3	x >
7x < 4	x <

Võrratus	Lahend
2^–^x < 8	x
3^–^x > 7	x
0,1x > 1	x
${(\frac{1}{5})}^{x} < 8$	x
${(\frac{1}{6})}^{x} > 2$	x
${(\frac{1}{7})}^{x} < 10$	x

Märkus

Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

1) 2^x+1 < 4

L₁ = (;)

2) 5^x+2 > 100

L₂ = (;)

3) $9^{x - 1} < \frac{2}{3}$

L₃ = (;)

4) 2^3x+1 > 20

L₄ = (;)

5) 9^1–x < 27

L₅ = (;)

6) 5^2–x > 25

L₆ = (;)

„Graafiline lahendamine“ joonis

Kasvav eksponentfunktsioon

Kahanev eksponentfunktsioon

1) 5^x+1 < 25

x + 1 < 2
x + 1 < 25
x + 1 > 2
x + 1 < 5

2) 5^1+2x ≤ 1

1 + 2x ≤ 1
2x + 1 < 0
2x ≤ –1
1 + 2x ≥ 0

3) $\frac{5^{x - 2}}{3^{x - 2}} < 1$

x – 2 < x – 2
x – 2 < 0
(x – 2) : (x – 2) < 1
$x - 2 < \frac{5}{3}$

4) ${(\frac{1}{4})}^{x - 1} \geq 2$

x – 1 ≥ 2
x – 1 ≤ –0,5
2x – 2 ≥ –1
2x – 2 ≤ 1

5) ${(\frac{2}{3})}^{2 - 3 x} > \frac{9}{4}$

3x – 2 < 2
2 – 3x < 1
2 – 3x > 2
3x – 2 > 2

(–∞; 1]
(–∞; –0,5]
(–1; ∞)
(1,(3); ∞)
[0,5; ∞)
(–∞; 0]
(–∞; 0,5]
(–∞; 1)
(–∞; 2)

Võrratus	Lahendihulk L
5^x+1 < 25
5^1+2x ≤ 1
$\frac{5^{x - 2}}{3^{x - 2}} < 1$
${(\frac{1}{4})}^{x - 1} \geq 2$
${(\frac{2}{3})}^{2 - 3 x} > \frac{9}{4}$

Argumendi võrratuseks ruutvõrratus

${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 4} > 4$

Lahendada tuleb ruutvõrratus

x²– 4 > 0.
x² – 4 < 0.
x² – 2 > 0.
x² – 2 < 0.
x² – 2x < 0.
x² – 2x > 0.

Lahendihulk L =

$(- \infty; - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \infty)$ .
(–2; 2).
$(- \sqrt{2}; \sqrt{2})$ .
(–∞; –2) U (2; ∞).
(–∞; 0) U (2; ∞).
(0; 2).

$32 > 0, 5^{- 1 - x^{2}}$

Lahendada tuleb ruutvõrratus

x²– 4 > 0.
x² – 4 < 0.
x² – 2 > 0.
x² – 2 < 0.
x² – 2x > 0.
x² – 2x < 0.

Lahendihulk L =

$(- \infty; - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \infty)$ .
(–2; 2).
$(- \sqrt{2}; \sqrt{2})$ .
(–∞; –2) U (2; ∞).
(–∞; 0) U (2; ∞).
(0; 2).

$81^{x} > {(\frac{1}{3})}^{x^{2} - 6 x}$

Lahendada tuleb ruutvõrratus

x²– 4 > 0.
x² – 4 < 0.
x² – 2 > 0.
x² – 2 < 0.
x² – 2x < 0.
x² – 2x > 0.

Lahendihulk L =

$(- \infty; - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \infty)$ .
(–2; 2).
$(- \sqrt{2}; \sqrt{2})$ .
(–∞; –2) U (2; ∞).
(–∞; 0) U (2; ∞).
(0; 2).

${(\frac{1}{2})}^{2 x^{2} - 4 x + 3} \leq \frac{1}{2}$

Lahendada tuleb võrratus

2x² – 4x + 0.

Lahendihulk L =

(–∞; 1) U (1; ∞).
ℝ.
(–∞; 0] U [1; ∞).
∅.
(–∞; –1] U [0; ∞).
[0; 1].

Еще на эту тему

Jäta meelde

Aluse tingimus	Võrratus	Argumendi võrratus
a > 1	2^x > 2
0 < a < 1	0,5^x > 0,5

Еще на эту тему

Услугу осуществляет Star Cloud OÜ

Присоединиться к Opiq

Количество баллов Opiq

	Работы
	Параграф проработан

Eksponent­võrratused

Еще на эту тему

Kasvav ja kahanev funktsioon

Kasvav, kahanev ning mittekasvav ja -kahanev

Näiteks

Eksponent- ja logaritmfunktsioon

Märka

a > 1

0 < a < 1

Еще на эту тему

Eksponentvõrratus

Lahendamine

Märka

Näide 1

Esimene lahendus

Vastus

Vastus

Mõtle

Näide 2

Esimene lahendus

Teine lahendus

Vastus

Еще на эту тему

Muutuja vahetus võrratuses

Näide 3

Lahendus

Vastus

Märka

Vastus

Еще на эту тему

Harjuta ja treeni

Graafiline lahendamine

Märkus

„Graafiline lahendamine“ joonis

Kasvav eksponentfunktsioon

Kahanev eksponentfunktsioon

Argumendi võrratuseks ruutvõrratus

Еще на эту тему

Jäta meelde

Еще на эту тему

Добавить материал

Загружаемые файлы

Сообщить об ошибке

Сюда пишите только об ошибках Opiq. Пожалуйста, опишите ошибку как можно детальнее.

Если вы согласны поделиться информацией о себе, сообщите свои контактные данные (e-mail, телефон).

Поставьте галочку, чтобы помочь нам бороться со спамом

Opiq использует файлы cookie

Eksponentvõrratused