Обобщение понятия степени

Определяя понятие степени, мы обобщали его шаг за шагом, рассматривая в качестве показателя степени:

положительные натуральные числа;
число 0;
отрицательные целые числа.

Но что понимают под степенью с дробным показателем?

Задание 140. Степень с дробным показатеем

Вычислите с помощью ранее изученных формул возведения в степень. Сравните между собой полученные в пунктах 1) и 2) равенства.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ =	${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ =	${(a^{\frac{1}{3}})}^{3}$ =	${(a^{\frac{1}{n}})}^{n}$ =
${(\sqrt{3})}^{2}$ =	${(\sqrt[3]{2})}^{3}$ =	${(\sqrt[3]{a})}^{3}$ =	${(\sqrt[n]{a})}^{n}$ =

Каким корнем можно заменить степень

a^{\frac{1}{n}}

(

a \geq 0

;

n \in N

n > 1

Ответ: степень $a^{\frac{1}{n}}$ дожна обозначать корень -й степени.

Пользуясь формулой ${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ и результатом, полученным в пункте 1, сформулируйте правило вычисления степени $a^{\frac{m}{n}}$ ;

$a^{\frac{m}{n}}$ = ${(a^{\frac{1}{n}})}^{m}$ = =

Подытоживая результаты, полученные при решении предыдущего задания, мы можем теперь определить степень с дробным показателем следующим образом:

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

(

a \in R^{+}

m \in Z

n \in N

n > 1

Отметим, что определение возведения в степень можно дать и в общем случае, когда показателем степени является произвольное действительное число. При этом в случае иррационального показателя a его заменяют некоторым рациональным приближением. Последнее же всегда можно выразить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ . Таким образом, всегда можно вычислить приближенное значение рассматриваемой степени:

$a^{α} \approx a^{\frac{m}{n}}$ , где $α \approx \frac{m}{n}$ и $a > 0$ .

Примеры.

$3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$
$\sqrt[3]{13} = 13^{\frac{1}{3}}$
${(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[5]{{(\frac{8}{9})}^{2}} = {(\frac{8}{9})}^{\frac{2}{5}}$
$2^{- \frac{3}{4}} = 2^{\frac{- 3}{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2^{3}}} = \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$
$\sqrt[4]{5^{- 3}} = 5^{\frac{- 3}{4}} = 5^{- \frac{3}{4}}$

Еще на эту тему

Упражнения A

Задание 141. Запись дробного показателя с помощью знака корня

$2^{\frac{1}{2}}$ =

3^{- \frac{3}{4}}

{1,5}^{1 \frac{1}{2}}

{3,5}^{- 0,75}

2^{3,5}

π^{0,125}

3^{\frac{2}{3}}

2^{- \frac{5}{2}}

{1,5}^{- 2,4}

Задание 142. Представление корня с помощью дробного показателя степени

\sqrt[3]{2}

\sqrt[5]{-25}

\sqrt[6]{71}

\sqrt[3]{7^{2}}

\sqrt[5]{2^{6}}

\sqrt[4]{\sqrt{2}}

\sqrt{{(0,25)}^{- 3}}

\sqrt[3]{\sqrt{5}}

3 \sqrt[3]{\sqrt{3^{- 1}}}

Задание 143. Дробный показатель степени

49^{\frac{1}{2}}

$64^{\frac{1}{3}}$ =

$32^{\frac{1}{5}}$ =

$8^{\frac{2}{3}}$ =

$27^{\frac{2}{3}}$ =

125^{\frac{2}{3}}

8^{- \frac{2}{3}}

64^{- \frac{3}{4}}

{0,0196}^{- \frac{1}{2}}

27^{- \frac{5}{6}}

{0,343}^{- \frac{1}{3}}

{(\frac{25}{64})}^{- \frac{1}{2}}

64^{\frac{2}{3}} - 27^{\frac{4}{3}}

{0,343}^{\frac{2}{3}} + {0,729}^{\frac{2}{3}}

{(\frac{16}{9})}^{1 \frac{1}{2}} + {(\frac{9}{64})}^{- \frac{3}{2}}

{(\frac{625}{256})}^{0,75} + {(\frac{512}{216})}^{- \frac{2}{3}}

Еще на эту тему

Упражнения Б

Задание 144. Представление корня с помощью дробного показатея степени

\sqrt[3]{2 \sqrt{3}}

\frac{5}{\sqrt[3]{3 \sqrt{3}}}

\frac{4}{\sqrt[5]{2 \sqrt{3}}}

Задание 145. Сравнение

8^{1,5}

12^{0,75}

$12^{1,5}$ $8^{\frac{2}{3}}$

$64^{- 1 \frac{1}{3}}$ $36^{- 1,5}$

${(\frac{1}{16})}^{- 0,75}$ ${(\frac{1}{8})}^{- 1 \frac{1}{3}}$

Еще на эту тему

Количество баллов Opiq

	Работы
	Параграф проработан

Обобщение понятия степени

Задание 140. Степень с дробным показатеем

Еще на эту тему

Упражнения A

Задание 141. Запись дробного показателя с помощью знака корня

Задание 142. Представление корня с помощью дробного показателя степени

Задание 143. Дробный показатель степени

Еще на эту тему

Упражнения Б

Задание 144. Представление корня с помощью дробного показатея степени

Задание 145. Сравнение

Еще на эту тему

Добавить материал

Загружаемые файлы

Сообщить об ошибке

Сюда пишите только об ошибках Opiq. Пожалуйста, опишите ошибку как можно детальнее.

Если вы согласны поделиться информацией о себе, сообщите свои контактные данные (e-mail, телефон).

Поставьте галочку, чтобы помочь нам бороться со спамом

Opiq использует файлы cookie