Joone puutuja võrrand

Ülesanne 937. Angaari katuse kindlustamine
Joon. 5.8

Selle ülesande saaksime lahendada, kui oskaksime leida joont y = –0,25(x2 – 25) punktis A puutuva sirge lõike­punkti x-teljega. Selleks aga peame oskama koostada joone puutuja võrrandit.

Joonele y = f (x) punktis (x0; y0) joonestatud puutuja võrrand avaldub kujul y = kx + b. Selles võrrandis oskame määrata sirge tõusu k:

k = f ' (x0).

Alg­ordinaadi b leidmiseks kasutame tõsi­asja, et punkt (x0; y0) asub puutujal. Kui mingi punkt asub sirgel, siis tema koordinaadid rahuldavad selle sirge võrrandit. Seega

y0 = f ' (x0) · x0 + b,

millest b = y0 – x0 · f ' (x0).

Asendades tõusu ja leitud alg­ordinaadi võrrandisse y = kx + b, saame, et joonele y = f (x) punktis (x0; y0) joonestatud puutuja võrrand avaldub kujul:

y = f ' (x0) · x + y0 – x0 · f ' (x0) ehk

y = f ' (x0) · (x – x0) + y0.

Näide 1.

Leiame paraboolile y=x^2+2x-1 kohal x_0=2 joonestatud puutuja võrrandi.

Arvutame esmalt puute­punkti ordinaadi:

y_0 = f\left(x_0\right) = 2^2+2\cdot2-1 = 7.

Leiame see­järel punktis (2; 7) joonestatud puutuja tõusu. Et y'=2x+2, siis

k = f'\left(x_0\right) = y'\left(x_0\right) = 2\cdot2+2 = 6.

Asendame saadud arvud puutuja võrrandisse. Saame

y=6x-5.

Vastus. Puutuja võrrand on y=6x-5.

Näide 2.

Paraboolile y=\frac{1}{2}x^2+3x-1 on joonestatud sirgega x-2y+2=0 paralleelne puutuja. Leiame selle puutuja võrrandi.

Et paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed, siis on otsitava puutuja tõus võrdne antud sirge tõusuga. Avaldame antud sirge võrrandist muutuja y:

y=\frac{1}{2}x+1.

Seega puutuja tõus k=\frac{1}{2}.

Leiame nüüd paraboolil punkti, mida läbiva puutuja tõus on \frac{1}{2}. Selleks tuleb lahendada võrrand f'\left(x\right)=\frac{1}{2}. Saame, et x+3=\frac{1}{2}, millest x_0=-2\frac{1}{2}. Funktsiooni y=\frac{1}{2}x^2+3x-1 väärtus sellel kohal y_0=-5\frac{3}{8}.

Asendades saadud arvud puutuja võrrandisse, saame,

y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8}.

Vastus. Puutuja võrrand on y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8}.

Kontrollime saadud vastust joonestades arvutil funktsioonide y=x^2+2x-1, y=\frac{1}{2}x+1 ja y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8} graafikud (joon. 5.9).

Joon. 5.9
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 938. Punkti ja tõusu­nurgaga määratud sirge võrrand

A\left(2;\ -3\right), \mathrm{\alpha}=45\degree

Vastus. y = 

A\left(0;\ 2\right), \mathrm{\alpha}=120\degree

Vastus. y = 

A\left(0;\ 0\right), \mathrm{\alpha}=90\degree

Vastus. x = 

Ülesanne 939. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand

A\left(-1;\ 3\right), k=\sqrt{3}

Vastus. y = , see sirge on .

A\left(0;\ -5\right), k=-1

Vastus. y = , see sirge on .

A\left(0;\ 0\right), k=0

Vastus. y = , see sirge on .

Ülesanne 940. Joone puutuja võrrand

y=x^2+1, kui x_1=2 ja x_2=-1

Vastus. Kui x_1=2, siis y =  ja kui x_2=-1, siis y = .

y=-3x^2+2x-1, kui x_1=-2 ja x_2=3

Vastus. Kui x_1=-2, siis y =  ja kui x_2=3, siis y = .

y=\sin x, kui x_1=0 ja x_2=\frac{2\pi}{3}

Vastus. Kui x_1=0, siis y =  ja kui x_2=\frac{2\pi}{3}, siis y = .

y=\frac{x-1}{x+1}, kui x_1=2 ja x_2=-3

Vastus. Kui x_1=2, siis y =  ja kui x_2=-3, siis y = .

Ülesanne 941. Joone puutuja võrrand

y=-\frac{1}{2}x^2-\sqrt{3}\cdot x, kui \mathrm{\alpha}=60\degree

Vastus. y = 

y=2\cos x, kui \mathrm{\alpha}=120\degree

Vastus. y = 

y=\sin x+1, kui \mathrm{\alpha}=0\degree

Vastus. y = 

y=\tan x, kui \mathrm{\alpha}=45\degree

Vastus. y = 

Ülesanne 942. Joone puutuja võrrand

y=-x^2+3x, kui k=9

Vastus. y = 

y=\tan x, kui x\in\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right] ja k=1

Vastus. y = 

y=\log x, kui k=\mathrm{\log\ }e

Vastus. y = 

y=\left(2x-1\right)^2+2, kui k=0

Vastus. y = 

Ülesanne 943. Angaari katuse kindlustamine
Joon. 5.8

Vastus. Selle trossi teine ots tuleb kinnitada  m kaugusele angaari müürist.

Ülesanne 944. Joone puutuja võrrand

Vastus. y = 

Ülesanne 945. Joone puutuja võrrand

Leidke joone y=\frac{x-6}{x-2} puutuja võrrand, kui puute­punktiks on joone lõike­punkt y-teljega. Kontrollige saadud vastust arvuti abil tehtud jooniselt.

Vastus. y = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 946. Joone puutuja võrrand

y=x\cdot2^x, kui x_1=1 ja x_2=0

Vastus. Kui x_1=1, siis y =  ja kui x_2=0, siis y = .

y=\frac{\ln x}{x}, kui x_1=e ja x_2=e^{-2}

Vastus. Kui x_1=e, siis y =  ja kui x_2=e^{-2}, siis y = .

y=\frac{\sqrt{x}}{2x-1}, kui x_1=1 ja x_2=-4

Vastus. Kui x_1=1, siis y =  ja kui x_2=-4, siis y = .

y=x\ln x, kui x_1=1 ja x_2=-1

Vastus. Kui x_1=1, siis y =  ja kui x_2=-1, siis y = .

Ülesanne 947. Joone puutuja võrrand

y=\sqrt{8-x^2}, kui \mathrm{\alpha}=45\degree

Vastus. y = 

y=\ln\left(2x+1\right), kui \mathrm{\alpha}=60\degree

Vastus. y = 

y=\cos2x, kui \mathrm{\alpha}=0\degree

Vastus. y =  või y = 

y=e^{2x-4}, kui \mathrm{\alpha}=45\degree

Vastus. y = 

y=xe^x, kui \mathrm{\alpha}=0\degree

Vastus. y = 

y=x\ln x, kui \mathrm{\alpha}=45\degree

Vastus. y = 

Ülesanne 948. Joone puutuja võrrand

Vastus. y = 

Ülesanne 949. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja võrrand

Vastus. y = 

Ülesanne 950. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja võrrand

Vastus. Selle puutuja alg­ordinaat on .

Ülesanne 951. Joone puutujad

Vastus. Punktides  ja .

Ülesanne 952. Joone puutuja võrrand

Vastus. y = 

Ülesanne 953. Joone puutuja võrrand

Leidke võrrand joone y=\frac{x-1}{x} sellisele puutujale, mis on paralleelne sirgega 8x – 2y + 1 = 0.

Vastus. y =  ja y = 

Ülesanne 954. Joone puutuja võrrand

Vastus. y =  ja y = 

Ülesanne 955. Joone puutuja võrrand

Vastus. y = 

Ülesanne 956. Joone puutuja võrrand

Leidke joone y=\frac{1}{4}x^2-2 puutuja, mis läbib punkti (2; –2). Kontrollige saadud vastust arvutil.

Vastus. y =  ja y = 

Ülesanne 957. Joonte ühine puutuja

Vastus. Nende funktsioonide graafikute ühine punkt on  ja sellesse punkti joonestatud puutuja võrrand on y = .

Kas nende funktsioonide graafikutel on veel ühiseid puutujaid? Uurige probleemi arvutil.

Ülesanne 958. Joonte ühine puutuja

Näidake, et funktsioonide y=-x^2 ja y=-\frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2} graafikud puutuvad teine­teist. Leidke selle puute­punkti abstsiss ja vastava ühise puutuja võrrand. Tehke joonis arvutil ja kontrollige saadud vastust.

Vastus. Selle puute­punkti abstsiss on  ja vastava ühise puutuja võrrand on y = .

Kas saadud graafikutel on veel ühiseid puutujaid?

Ülesanne 959. Joonte ühised puutujad
  1. Moodustage funktsioon g (x) = f (x + 1).
    Vastus. g (x) = 
  2. Leidke funktsioonide f (x) ja g (x) graafikute lõike­punktide koordinaadid.
    Vastus. Nende graafikute lõike­punktide koordinaadid on  ja .
  3. Leidke funktsioonide f (x) ja g (x) graafikutele nende lõike­punktides joonestatud puutujate võrrandid.
    Vastus. Funktsiooni f (x) graafikule joonestatud puutujad on y =  ja y =  ning funktsiooni g (x) graafikule joonestatud puutujad on y =  ja y = .
  4. Arvutage saadud puutujatega määratud neli­nurga pindala.
    Vastus. S =  pindala­ühikut
Ülesanne 960. Joonte ühised puutujad

Vihje
Tähistage funktsioonide f(x) ja g(x) graafikute ühise puutuja puute­punktide abstsissid vastavalt tähtedega a ja b ning koostage mõlema funktsiooni graafiku vastavate puutujate võrrandid. Kasutades fakti, et sirged ühtivad, kui neil on võrdsed tõusud ja võrdsed alg­ordinaadid, leidke a ja b arvulised väärtused.
Vihje vastus
a1 = –2; b1 = 6
a2 = 8,(6); b2 = 0,(6)
Seotud sisu
Muud tegevused