Ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 lahendivalem

Ruutvõrrandi lahendamine kaksliikme ruuduks täiendamise võttega on aeganõudev. Kuna teisendamine toimub alati ühesuguse skeemi järgi, siis on mõistlik leida sellele skeemile vastav üldine lahendivalem. Vaatleme üldkujulist ruutvõrrandit

ax² + bx + c = 0 ehk ax² + bx = –c.

Täiendame viimase võrrandi vasaku poole eelmise peatüki eeskujul kaksliikme ruuduks. Et esimene liige oleks ühe kaksliikme ruut, korrutame kõigepealt võrrandi mõlemaid pooli teguriga 4a. Siis saame

4a²x² + 4abx = –4ac ehk (2ax)² + 2 ⋅ 2ax ⋅ b = –4ac.

Et saada viimase võrrandi vasakule poolele kaksliikme ruutu, tuleb selle poolega liita b². Sama arv tuleb liita muidugi ka võrrandi parema poolega. Siis saame:

(2ax)² + 2 · 2ax · b + b² = b² – 4ac
ehk
(2ax + b)² = b² – 4ac.

Eeldades, et b² –4ac ≥ 0, leiame saadud võrrandi mõlemast poolest ruutjuure ja seejärel võrrandi lahendid:

$\begin{array}{rcl} |2 a x + b| & = & \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ 2 a x + b & = & \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ 2 a x & = & - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

Seega saab ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 lahendid leida valemiga

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$ .

Näide 1

Lahendame ruutvõrrandi 4x²+ 7x –2 = 0.

Siin a = 4, b = 7 ja c = –2. Lahendivalemi järgi saame:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 4} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{- 7 \pm 9}{8} \end{array}$

$x_{1} = \frac{- 7 - 9}{8} = - 2, x_{2} = \frac{- 7 + 9}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$

Oma arvutuste õigsuse kontrollimiseks asendame saadud lahendid võrrandisse 4x² + 7x – 2 = 0.

Näiteks x₁ = –2 korral võrrandi vasak pool
v = 4 ⋅ (–2)²+ 7 ⋅ (–2) – 2 = 16 –14 – 2 = 0.

Järelikult on x₁ = –2 võrrandi lahend. Analoogiliselt saab kontrollida, et ka 0,25 sobib lahendiks.

Vastus. x₁ = –2, x₂ = 0,25.

Näide 2

Lahendame ruutvõrrandi x² – 6x + 9 = 0.

Siin a = 1, b = –6 ja c = 9. Lahendivalemi järgi saame:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{6 \pm 0}{2} \end{array}$

Öeldakse, et sellel võrrandil on kaks võrdset lahendit:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & x_{2} = \frac{6}{2} = 3 \end{array}$ .

Vastus. x = 3.

Näide 3

Lahendame võrrandi –3x² + 11x – 6 = 0.

Siin on otstarbekas, kuid mitte ilmtingimata tarvilik, korrutada (või jagada) võrrandi mõlemaid pooli teguriga –1. Sellega vabaneme negatiivsest kordajast x² ees ja väheneb võimalike vigade oht lahendivalemi kasutamisel. Nii saame uue, eelmisega samaväärse võrrandi

3x² – 11x + 6 = 0,

mille lahendamisel saame, et $x_{1} = \frac{2}{3}$ ja $x_{2} = 3$ . (Kontrolli seda!)

Vastus. $x_{1} = \frac{2}{3}$ ja $x_{2} = 3$ .

Näide 4

Lahendame võrrandi 3x² – 2x + 4 = 0.

Lahendivalemi järgi leiame, et

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 44}}{6}$ .

Et negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt leida, siis antud võrrandil puuduvad lahendid (meile tuntud arvude hulgas).

Vastus. Lahendid puuduvad.

Näide 5

Lahendame võrrandi $\begin{array}{rcl} t^{2} + \frac{t}{3} & = & \frac{1 - 4 t}{4} \end{array}$ .

Kõigepealt lihtsustame võrrandit ja anname võrrandile normaalkuju. Selleks korrutame võrrandi pooli murdude ühise nimetajaga 12, taandame ja toome kõik liikmed vasakule:

$\begin{array}{rcl} 12 t^{2} + \frac{12 t}{3} & = & \frac{12 (1 - 4 t)}{4} \\ 12 t^{2} + 4 t & = & 3 (1 - 4 t) \\ 12 t^{2} + 4 t - 3 + 12 t & = & 0 \\ 12 t^{2} + 16 t - 3 & = & 0 \end{array}$

Lahendivalemit kasutades leiame, et

$t = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 144}}{2 \cdot 12}$ = $\frac{- 16 \pm \sqrt{400}}{24}$ = $\frac{- 16 \pm 20}{24}$ ,

millest t₁ = –1,5 ja $t_{2} = \frac{1}{6}$ .

Vastus. t₁ = –1,5 ja $t_{2} = \frac{1}{6}$ .

Proovi seda ülesannet lahendada ka teisel viisil, viies liikmed vasakul pool ühisele nimetajale ja lahendades edasi nagu võrdekujulist võrrandit.

Ще на цю тему

Ülesanded A

x² – 3x + 2 = 0
x₁ = , x₂ =

x² + 3x – 10 = 0x₁ = , x₂ =

–2t² + 5t – 2 = 0t₁ = , t₂ =

z² + z – 56 = 0z₁ = , z₂ =

10u² + 17u – 39 = 0u₁ = , u₂ =

–3v² + 7v + 6 = 0v₁ = , v₂ =

109. Ruutvõrrandi lahendivalem

Lahenda kirjalikult vihikus näites 3 antud võrrand –3x² + 11x – 6 = 0 ilma kordajate märke muutmata. Väldi võimalikke „märgivigu”!

x² – 3x – 4 = 0x₁ = , x₂ =

3u² – 7u – 6 = 0u₁ = , u₂ =

3m² + 2m – 1 = 0m₁ = , m₂ =

3x² – 18x + 27 = 0x₁ = , x₂ =

4x² – 24x + 20 = 0x₁ = , x₂ =

t² – 5t + 6 = 0t₁ = , t₂ =

2x² – 9x + 4 = 0x₁ = , x₂ =

2z² + 2z – 60 = 0z₁ = , z₂ =

y² + y + 2 = 0y₁ = , y₂ =

10x² + 130x + 300 = 0x₁ = , x₂ =

3x² + 2x – 8 = 0x₁ = , x₂ =

2x² + 2x – 24 = 0x₁ = , x₂ =

3t² – 8t – 3 = 0t₁ = , t₂ =

2s² + 3s – 2 = 0s₁ = , s₂ =

2u² – 9u + 4 = 0u₁ = , u₂ =

2x² + 9x + 10 = 0x₁ = , x₂ =

x² – 12x + 35 = 0x₁ = , x₂ =

3t² – 2t – 1 = 0t₁ = , t₂ =

4z² – 4z – 3 = 0z₁ = , z₂ =

2u² – 3u – 2 = 0u₁ = , u₂ =

2v² – 7v + 3 = 0v₁ = , v₂ =

4x² – 4x + 1 = 0x₁ = , x₂ =

3y² – 10y + 3 = 0y₁ = , y₂ =

2n² + 18n – 20 = 0n₁ = , n₂ =

4z² – 12z – 72 = 0z₁ = , z₂ =

v² + 5v + 4 = 0v₁ = , v₂ =

5z² + 2z + 1 = 0z₁ = , z₂ =

9y² – 9y + 2 = 0y₁ = , y₂ =

5t² – 11t + 2 = 0t₁ = , t₂ =

3v² – 5v – 2 = 0v₁ = , v₂ =

(2x – 1)(x + 3) = 0x₁ = , x₂ =

(5x – 1)² = 9x₁ = , x₂ =

(x – 2)(x + 3) = 6x₁ = , x₂ =

(x – 2)²= –1x₁ = , x₂ =

3x² – 2x = 0x₁ = , x₂ =

2(x – 1)² + 4(x – 1) = 0x₁ = , x₂ =

x² + 2x + 1 = 25x₁ = , x₂ =

x² – 4x + 4 = 36x₁ = , x₂ =

x(x + 2) = 35x₁ = , x₂ =

x² = 3(2x – 3)x₁ = , x₂ =

2(s² – 9) = 5(s – 4)s₁ = , s₂ =

(u – 1)² = u + 1u₁ = , u₂ =

(1 + 2t)(1 – 2t) = 3tt₁ = , t₂ =

(u + 7)² = 28uu₁ = , u₂ =

(3x – 2)(2x – 1) = xx₁ = , x₂ =

(3x + 1)(9 – x) = (3 – x)²x₁ = , x₂ =

x(3x + 2) = 8xx₁ = , x₂ =

50 – 3t = t(2t – 3)t₁ = , t₂ =

Vastus. Need arvud on ja või ja .

Vastus. Need arvud on ja .

Ще на цю тему

Ülesanded B

6 x + \frac{{(1 + x)}^{2}}{2} = \frac{(x - 1) (x + 2)}{4} + 8

x₁ = , x₂ =

\frac{3 u + 4}{5} - \frac{u^{2} - 4 u - 6}{10} = - 1

u₁ = , u₂ =

\frac{(2 v - 1) (1 + 2 v)}{3} - \frac{{(v - 2)}^{2}}{4} = v + 107

v₁ = , v₂ =

\frac{(u - 1) (u + 3)}{3} - \frac{u (u - 1)}{2} = \frac{2}{3}

u₁ = , u₂ =

x^{2} - x \sqrt{2} - 1 = 0

x₁ ≈ , x₂ ≈

2 t^{2} + t \sqrt{5} - 2 = 0

t₁ ≈ , t₂ ≈

5 u^{2} - 10 u + \sqrt{2} = 0

u₁ ≈ , u₂ ≈

x^{2} \sqrt{2} - 2 x - \sqrt{8} = 0

x₁ ≈ , x₂ ≈

x² + 7x – 7 = 0x₁ ≈ , x₂ ≈

x² – 8x + 9 = 0x₁ ≈ , x₂ ≈

t² + 4t – 6 = 0t₁ ≈ , t₂ ≈

m² + m – 5 = 0m₁ ≈ , m₂ ≈

(x – 1)(x + 2) = 7x₁ ≈ , x₂ ≈

(x + 2)² – 3x = 5x₁ ≈ , x₂ ≈

x = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - a c}}{a} .

Tuleta kirjalikult vihikus see valem, asendades üldises lahendivalemis kordaja b avaldisega 2k ja lihtsustades tulemust.

Kasuta saadud valemit järgnevate võrrandite lahendamisel:

3x² + 4x + 1 = 0
x₁ = , x₂ =

x² – 4x – 21 = 0x₁ = , x₂ =

3x² + 10x – 8 = 0x₁ = , x₂ =

5t² – 12t + 4 = 0t₁ = , t₂ =

9s² + 40s – 25 = 0s₁ = , s₂ =

7u² – 20u – 3 = 0u₁ = , u₂ =

(x – 1)² – 9(x – 1) + 14 = 0x₁ = , x₂ =

(2t – 1)² + 2(2t – 1) – 15 = 0t₁ = , t₂ =

3(5u – 1)² – 5(5u – 1) + 2 = 0u₁ = , u₂ =

6(y + 2)² + y + 1 = 0y₁ = , y₂ =

Vihje

Võta sulgudes olev avaldis uueks tundmatuks (abitundmatu) ja lahenda võrrand esialgu abitundmatu suhtes.

Kumera n-nurga diagonaalide arvu d saab leida valemi

d = \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} - 1

abil.

Kontrolli selle valemi kehtivust n = 3 ja n = 4 korral.
Millise n korral on hulknurgal 65 diagonaali?

Vastus. Hulknurgal on 65 diagonaali siis, kui n = .
Kas on olemas hulknurk, milles d = n (külgede ja diagonaalide arv on võrdne)?

Vastus. Selline hulknurk , siis n = .

Ще на цю тему

Прогрес в Opiq

	Роботи
	Параграф опрацьовано

Ruut­võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Näide 4

Näide 5

Ще на цю тему

Ülesanded A

109. Ruut­võrrandi lahendi­valem

Ще на цю тему

Ülesanded B

Vihje

Ще на цю тему

Додати матеріал

Файли для завантаження

Повідомити про помилку

Сюди пишіть лише про помилки Opiq. Будь ласка, опишіть помилку якомога детальніше.

Якщо Ви погоджуєтеся поділитися інформацією про себе, повідомте свої контактні дані (e-mail, телефон).

Поставте галочку, щоб допомогти нам боротися зі спамом

Opiq використовує файли cookie

Ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 lahendivalem

109. Ruutvõrrandi lahendivalem