Пользуясь известными графиками функций (например, графиками степенных функций, рассмотренными в разделе 2.13), можно с помощью геометрических преобразований получить графики более сложных функций. Рассмотрим некоторые из таких преобразований.
1. СИММЕТРИЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ГРАФИКА ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ И НАЧАЛА КООРДИНАТ.
Симметричным отображением фигуры относительно прямой[понятие: Симметричное отображением фигуры относительно прямой (kujundi peegeldus sirgest) – преобразование плоской фигуры, при котором каждая точка 𝑋 фигуры переходит в симметричную относительно прямой 𝑡 точку 𝑋′. При этом преобразовании прямая 𝑋𝑋′ перпендикулярна прямой 𝑡, а точки 𝑋 и 𝑋′ расположены по разные стороны от прямой 𝑡 на одинаковом расстоянии от этой прямой.] s называется преобразование, при котором каждая точка A фигуры и ее образ A′ симметричны относительно прямой s, т. е. AO = OA′ и AA′ ⊥ s (рис. 2.48, a).
 Рис. 2.48,a | ||||||
Симметричным отображением фигуры[понятие: Симметричное отображение фигуры относительно точки (kujundi peegeldus punktist) – преобразование, при котором каждая точка 𝑋 фигуры переходит в точку 𝑋′, симметричную ей относительно центра симметрии – фиксированной точки 𝑂. При этом точки 𝑋, 𝑂 и 𝑋′ расположены на одной прямой, причем 𝑋𝑂 = 𝑂𝑋′.] относительно некоторой точки O называется преобразование, при котором каждая точка B фигуры и ее образ B′ симметричны относительно точки O, т. е. точки B, O и B′ расположены на одной прямой и BO = OB′ (рис. 2.48, б).
 Рис. 2.48,б | ||||||
При симметричном отображении точки относительно оси Оy ордината точки остается прежней, а знак абсциссы меняется на противоположный (рис. 2.49, а). Точка A(–x; y) отображается в точку A′ (x; y).
 Рис. 2.49,a | ||||||
При симметричном отображении точки относительно оси Ох абсцисса точки остается прежней, а знак ординаты меняется на противоположный (рис. 2.49, б). Точка B(x; y) отображается в точку B′ (x; –y).
 Рис. 2.49,б | ||||||
Следовательно, при симметричном отображении графика функции y = f (x)
- относительно оси Ох получается график функции y = –f (x);
- относительно оси Оу получается график функции y = f (–x).
При симметричном отображении точки относительно начала координат О знаки обеих координат точки изменяются на противоположные (рис. 2.49, в). Точка С(x; y) переходит в точку C'(–x; –y).
 Рис. 2.49,в | ||||||
При симметричном отображении графика функции y = f (x) относительно начала координат получается график функции –y = f (–x), т. е. функции y = –f (–x).
Пример 1.
Отобразим график функции y = x2 – x симметрично относительно координатных осей и начала координат.
При зеркальном отображении относительно оси Оу получим график функции y = (–x)2 – (–x) = x2 + x (рис. 2.50, a). При зеркальном отображении первоначального графика относительно оси Ох получим график функции y = –(x2 – x) = –x2 + x (рис. 2.50, б). При симметричном отображении относительно начала координат получим график функции –y = (–x)2 – (–x), т. е. y = –x2 – x (рис. 2.50, в).
2. ГРАФИК ФУНКЦИИ y = a f (x)
Пусть задан график функции y = f (x). Чтобы начертить график функции y = af (x), нужно умножить на число а ординату каждой точки графика функции y = f (x). При этом точка A(x; y) отображается в точку A′ (x; ay). В частности, если a = –1, то данное преобразование есть симметричное отображение первоначального графика относительно оси абсцисс.
Пример 2.
Начертим графики функций
Графики рассматриваемых функций изображены на рисунке 2.51.
 Рис. 2.51 | ||||||
3. ГРАФИК ФУНКЦИИ y = f (x) + a
В этом случае каждая точка A(x; y) графика функции y = f (x) преобразуется в точку A′ (x; y + a). Это значит, что график новой функции получается параллельным переносом графика исходной функции на а единиц вверх, если a > 0, и на |a| единиц вниз, если a < 0 (рис. 2.52).
Рис. 2.52
| ||||||
4. ГРАФИК ФУНКЦИИ y = f (x – a)
Расположение графика этой функции изучите самостоятельно с помощью следующей задачи.
Задание 474. График функции y = f (x – a)
- Начертите в одной системе координат графики функций y = 2x2, y = 2(x – 3)2 и y = 2(x +2)2.
- Каким образом нужно преобразовать график функции y = 2x2, чтобы получить график функции y = 2(x – 3)2?
- При каком преобразовании из графика функции y = 2x2 получается график функции y = 2(x + 2)2?
График функции y = f (x – a) получается параллельным переносом графика y = f (x) на a единиц вправо при a > 0 и на |a| единиц влево при a < 0 (рис. 2.53).
Рис. 2.53
| ||||||
5. ГРАФИК ФУНКЦИИ y = |f (x)|
Напомним, что модуль числа а, то есть |a|, равен самому числу а в случае, когда а ≥ 0, и противоположному числу –а, если а < 0. Поэтому в рассматриваемом случае каждая точка A(x; y) графика функции y = f (x) преобразуется в точку A′(x; |y|). Часть графика y = f (x), лежащая выше оси Ох, сохраняется, а часть его, лежащая ниже оси Ох, отображается симметрично относительно оси Ох (рис. 2.54, а, б).
 Рис. 2.54,a | ||||||
 Рис. 2.54,б | ||||||
Упражнения A
Задание 475. Симметричное отображение точки
- при симметрии относительно оси абсцисс и последующей симметрии относительно оси ординат;
Ответ: этой точкой будет. - при симметрии относительно оси ординат и последующем зеркальном отображении относительно оси абсцисс;
Ответ: этой точкой будет. - при симметрии относительно начала координат.
Ответ: этой точкой будет.
Что можно подметить? Получится ли тот же результат для любой точки B(x; y)?
Задание 476. Отображение относительно оси Оу
Задание 477. Отображение относительно начала координат
Упражнения Б
Задание 478. Преобразования графика функции
f (x – 2) =
f (4x) =
–2 f (x + 1) =
f (2x) – 3 f (x – 1) =
Задание 479. Преобразования графика функции
Задание 480. Преобразования графика функции
- y =
- y =
- y =
- y =
Задание 481. Преобразования графика функции
Задание 482. Преобразования графика функции
\left(x+1\right)^2>\left(x+1\right)^3
Ответ: если x ∈\left(x+1\right)^2<\left(x+1\right)^3
Ответ: если x ∈\left(x+1\right)^2=\left(x+1\right)^3
Ответ: если x ∈
