Вторая производная позволяет получить дополнительную информацию о графике функции. На рисунке 5.23 все точки изображенных линий находятся ниже касательных, проведенных к этим линиям.
 Рис. 5.23 | ||||||
Говорят, что график функции на некотором интервале является выпуклым[понятие: Выпуклость графика (graafiku kumerus) – говорят, что график функции на некотором интервале является выпуклым, если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.], если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.
Говорят, что график функции на некотором интервале является вогнутым[понятие: Вогнутость графика (graafiku nõgusus) – говорят, что график функции на некотором интервале является вогнутым, если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.], если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 5.24).
 Рис. 5.24 | ||||||
Рис. 5.25 | ||||||
Очевидно, что график функции может быть выпуклым на одних интервалах и вогнутым на других (рис. 5.25). Такие интервалы называются соответственно интервалами выпуклости[понятие: Интервал выпуклости графика (graafiku kumerusvahemik) – интервал, в каждой точке которого график функции является выпуклым и такой, что он не содержится в большем интервале с тем же свойством.] и интервалами вогнутости[понятие: Интервал вогнутости графика (graafiku nõgususvahemik) – интервал, в каждой точке которого график функции является вогнутым и такой, что он не содержится в большем интервале с тем же свойством.] графика.
Интервал выпуклости обозначается символом , а интервал вогнутости – символом ; если их несколько, то они нумеруются.
Найдем теперь с помощью понятия второй производной условия, позволяющие установить интервалы выпуклости или вогнутости графика функции y = f(x). Выясним, что происходит с угловым коэффициентом касательной при возрастании аргумента. Рассмотрим точки х1 < х2 < х3 < х4 < х5 < х6, как показано на рисунке 5.26. Тогда
Поскольку угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс ее угла наклона, равен значению производной функции в рассматриваемой точке, то в рассматриваемой области (между х1 и х3) производная g (x) = f '(x) убывает. Из того же рисунка видно, что производная g(x) =f '(x) продолжает убывать и в промежутке от х3 до х6. В самом деле,
и рассматриваемые углы принадлежат второй четверти, в которой функция тангенс возрастает. Поэтому
Итак, на всем рассматриваемом интервале производная g(x) = f '(x) убывает. Как мы знаем, убывание функции y = g(x) характеризуется неравенством g'(x) ≤ 0. В то же время g'(x) = [f '(x)]' = y''. Значит, если график функции y = f(x) является выпуклым и функция дважды дифференцируема, то f ''(x) ≤ 0.
Аналогично получим, что при вогнутом графике выполняется неравенство f ''(x) ≥ 0.
Заметим, что в случае выпуклости неравенство f ''(x) ≤ 0 может обращаться в равенство f ''(x) = 0 только в отдельных точках. Если в такой точке выпуклость графика функции не сменяется вогнутостью, то и эта точка принадлежит интервалу выпуклости графика. На рисунке 5.27 изображен вогнутый на всей числовой прямой график функции у = х4. Имеем y'' = 12x2 > 0 при всех х, кроме точки х = 0, в которой y''(0) = 0.
Подведем некоторые итоги.
Если точка x0 принадлежит интервалу выпуклости графика функции y = f (x), то f ''(x0) ≤ 0.
Если точка x0 принадлежит интервалу вогнутости графика функции y = f (x), то f ''(x0) ≥ 0.
Выясним, каковы достаточные признаки выпуклости или вогнутости графика функции. Строгими рассуждениями можно показать, что график является выпуклым (вогнутым), если производная g(x) = f '(x) убывает (возрастает). В свою очередь достаточным условием убывания функции y = g(x) является строгое неравенство g'(x) < 0, т. е. f ''(x) < 0, а достаточным условием возрастания – строгое неравенство g'(x) > 0, т. е. f ''(x) > 0. Как мы уже заметили, интервалу выпуклости или вогнутости принадлежат и такие точки, в которых f ''(x) = 0, но выпуклость не сменяется вогнутостью, или наоборот, т. е. нули второй производной, в которых эта производная не меняет своего знака. Сформулируем правило для нахождения интервалов выпуклости функции.
 Рис. 5.28 | ||||||
- Решим неравенство f ''(x) < 0 (в области определения функции).
- Если из полученных интервалов какие-нибудь два имеют общий конец (например, (a; c) и (c; b)) и в этой точке функция дифференцируема, то объединим эти интервалы в один интервал (в нашем случае в интервал (а; b)).
- Выполнив требуемое в пунктах 1 и 2, получим интервалы выпуклости графика функции.
Правило нахождения интервалов вогнутости графика функции совершенно аналогично и основывается на решении неравенства f ''(x) > 0.
Точки графика, в которых выпуклость графика сменяется вогнутостью или наоборот, называются точками перегиба графика функции. Такова, например, точка (0; 0) в случае графика функции у = х3 (рис. 5.28).
Точкой перегиба графика функции[понятие: Точка перегиба графика функции (funktsiooni graafiku käänupunkt) – точка на графике функции, в которой выпуклость графика сменяется вогнутостью или наоборот.] называется такая точка на графике функции y = f(x), в которой этот график имеет касательную и в которой выпуклость графика переходит в вогнутость или наоборот. Точкой перегиба функции[понятие: Точка перегиба функции (funktsiooni käänukoht) – абсцисса точки перегиба графика функции.] называется абсцисса точки перегиба графика функции.
Множество точек перегиба функции, заданной на множестве X, обозначается символом Хп. Для рассмотренной выше функции у = х3 получим, что Хп = {0}.
Например, на рисунке 5.29 точкой перегиба функции является x1, так как в этой точке выпуклость графика сменяется вогнутостью. В то же время, точка x2 не является точкой перегиба, так как в этой точке не существует касательной к графику (хотя вогнутость графика переходит в выпуклость).
 Рис. 5.29 | ||||||
Найдем теперь достаточный признак точки перегиба. Допустим, что функция y = f (x) дважды дифференцируема в интервале, содержащем точку x0. Если в точке x0 вторая производная меняет знак, то это как раз и означает, что в этой точке выпуклость переходит в вогнутость (или наоборот). Кроме того, в этом случае и подавно существует первая производная f '(x0), т. е. график имеет касательную в точке x0. Следовательно, в этом случае x0 является точкой перегиба функции. С другой стороны, перемена знака второй производной означает, что для первой производной g(x) = f '(x) ее убывание переходит в возрастание (или наоборот). Но тогда x0 есть точка экстремума для первой производной, в частности, должно выполняться равенство g'(x0) = 0, т. е. f ''(x0) = 0. Ясно, что если f ''(x0) = 0 и вторая производная меняет знак при переходе через точку x0, то x0 есть точка перегиба. Таким образом,
если f ''(x0) = 0 и вторая производная меняет знак при переходе через точку x0, то x0 есть точка перегиба функции y = f(x).
Замечание. Существуют и такие точки перегиба, в которых вторая производная не равна нулю. Например, для функции
 Рис. 5.30 | ||||||
Пример.
Найдем интервалы выпуклости и интервалы вогнутости, а также точки перегиба функции
Найдем первую и вторую производные функции:
Как сама функция, так и ее производные y' и y'' определены на всей числовой прямой. Теперь найдем нули второй производной. Из уравнения
получим, что точками перегиба могут быть только точки
Чтобы найти интервалы выпуклости и интервалы вогнутости, решим соответственно неравенства
Получим, что функция имеет один интервал выпуклости и два интервала вогнутости: и .
Так как в нулях второй производной эта производная меняет знак, то найденные точки х1 и х2 являются точками перегиба, т. е.
Ответ: функция
Упражнения Б
Задание 1007. Интервалы выпуклости и интервалы вогнутости графика функции
Задание 1008. Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость в зависимости от значений параметра
Задание 1009. Интервалы выпуклости, интервалы вогнутости и точки перегиба функции
Задание 1010. Интервалы монотонности, точки экстремума, интервалы выпуклости и интервалы вогнутости графика функции, также точки перегиба
Задание 1011. Интервалы монотонности, точки экстремума, интервалы выпуклости и интервалы вогнутости графика функции, также точки перегиба
Задание 1012. Прямолинейное движение точки
- На каком расстоянии от начала пути будет точка А в конце первой секунды?
Ответ: в этот момент точка будет на расстоянии см от начала пути. - В какой момент времени точка А начнет снова приближаться к началу пути? Каковы будут в этот момент ее скорость и расстояние от начала пути до нее?
Ответ: точка А начнет снова приближаться к началу пути с секунды, и в этот момент ее скорость будет\frac{\mathrm{см}}{\mathrm{с}} , а расстояние от начала пути составит см. - Каково наименьшее расстояние от начала пути до точки A в промежуток времени (2; 7) и в какой момент времени будет пройдено это расстояние?
Ответ: в этом промежутке времени наименьшее расстояние от начала пути будет равно см и на секунде. - Каково должно быть значение параметра а в формуле закона движения s (t) = 2t3 – 21t2 + 60t + a, чтобы точка А в некоторый момент вернулась в начало пути?
Ответ: a = - В какие промежутки времени точка A удаляется от начала пути и в какие – приближается к нему?
Ответ: точка удаляется от начала пути, если t ∈и t ∈ , а приближается к нему, если t ∈ . - Сделайте эскиз графика движения, который описывает зависимость расстояния s(t) между началом пути и точкой А от времени t.
- В какие моменты времени скорость движения точки равна нулю?
Ответ: если t = с и t = с. - В какие промежутки времени скорость движения уменьшается и в какие – увеличивается?
Ответ: скорость движения точки уменьшается при t ∈и увеличивается при t ∈ . - В какой промежуток времени скорость движения отрицательна? Что означает отрицательность скорости?
Ответ: скорость движения отрицательна, если t ∈. Отрицательность скорости означает, что . - Какова наибольшая скорость точки на обратном пути?
Ответ: наибольшая скорость точки на обратном пути равна\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}} . Сделайте эскиз графика, описывающего изменение скорости v(t) движения точки А в зависимости от времени t. - В какой момент времени ускорение движущейся точки равно нулю?
Ответ: если t = с. - В какой промежуток времени точка движется с отрицательным ускорением и в какой – с положительным? Когда движение точки замедляется и когда ускоряется?
Ответ: точка движется с отрицательным ускорением, если t ∈и с положительным, если t ∈ . Движение замедляется, если t ∈ , а ускоряется, если t ∈ . - Сделайте эскиз графика, который описывает изменение ускорения a(t) точки А в зависимости от времени t. Сравните между собой все три графика. Какие интересные особенности можно подметить?
- Решите задачу также с помощью компьютера, исследовав соответствующие графики, описывающие движение. В чем заключаются преимущества и недостатки различных методов решения?
