Курс „Стереометрия”
 Рис. 2.23 | ||||||
Из предыдущего задания следует, что наименьшим из углов, рассмотренных в этом задании, является угол α между прямой v и ее проекцией s. Оказывается, что все другие прямые на данной плоскости, отличные от проекции s прямой v, образуют с прямой v углы, бóльшие угла α. На основании сказанного определим угол между прямой и плоскостью так:
углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на эту плоскость (меньший из смежных углов между прямой и ее проекцией).
Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна и своей проекции на плоскость. Поэтому угол между прямой, параллельной плоскости, и этой плоскостью равен 0°. Угол между нормалью к плоскости и самой плоскостью считается равным 90°.
- Проекцией точки на плоскость является точка.
- Проекцией отрезка на плоскость является отрезок.
- Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, равный данному.
- Проекцией отрезка на плоскость является точка.
- Проекцией прямой на плоскость является прямая.
Проекцией угла АВС на плоскость называется угол А′В′С′, где А′ и С′ есть проекции на эту плоскость точек А и С, взятых на сторонах угла, и В′ проекция вершины В этого угла (рис. 2.24).
 Рис. 2.24 | ||||||
- Одна из сторон прямого угла расположена на плоскости стола и изменяется только угол наклона второй стороны угла к этой плоскости.
- Изменяются углы наклона к плоскости обеих сторон прямого угла.
На основании результата задания 248 сформулируем следующую теорему (называемую теоремой о трех перпендикулярах).
Если одна из сторон угла лежит в плоскости, то проекция этого угла является прямым углом тогда и только тогда, когда данный угол прямой.
 Рис. 2.25 | ||||||
Заметим, что в данной теореме с помощью выражения тогда и только тогда, когда объединены два утверждения (взаимно обратные теоремы):
- если одна из сторон прямого угла лежит в плоскости или параллельна ей, а другая сторона не перпендикулярна плоскости, то проекция этого угла на данную плоскость является прямым углом;
- если одна из сторон угла лежит в плоскости или параллельна ей, а другая сторона не перпендикулярна плоскости и проекция этого угла на данную плоскость является прямым углом, то и данный угол является прямым.
Теорема о трех перпендикулярах используется при решении очень многих задач пространственной геометрии. Рассмотрим одну из таких задач.
Пример.
Основанием пирамиды является прямоугольник, а ее боковое ребро ED перпендикулярно основанию (рис. 2.26). Найдем боковые ребра пирамиды, если стороны прямоугольника равны 5 см и 8 см, а высота пирамиды – 12 см.
Решение. Из условия задачи нам известно, что все углы основания являются прямыми. Из условия также следует, что углы боковых граней при вершине D являются прямыми. Так как проекцией угла А боковой грани ABE на основание является прямой угол, то по только что рассмотренной теореме сам этот угол также является прямым. Значит, ∠BAE = 90°. Точно так же ∠BCE = 90° (почему?).
Пусть AD = 5 см, DC = 8 см и DE = 12 см.
 Рис. 2.26 | ||||||
По теореме Пифагора получим:
Боковое ребро ED равно высоте, т. е. ED = 12 см.
Как изменится решение задачи, если поменять местами длины сторон основания?
Ответ: боковые ребра пирамиды
Упражнения
Ответ: эта точка расположена на расстоянии
Ответ: эта точка расположена на расстоянии
Ответ: длина отрезка A'B равна см.
 Рис. 2.27 | ||||||
Ответ: расстояние между точками пересечения этих прямых с плоскостью равно
 Рис. 2.28 | ||||||
Ответ: углы между исходящими из одной и той же вершины диагональю и гранями параллелепипеда равны (по возрастанию)
Найдите:
- длины проекций данных отрезков;
Ответ: длины проекций данных отрезков равны м. - расстояние между лежащими в плоскости концами отрезков.
Ответ: расстояние между лежащими в плоскости концами отрезков равно м.
 Рис. 2.29 | ||||||
- В какой точке находится основание (нижний конец) высоты пирамиды?
- Найдите высоту пирамиды, если ее боковое ребро равно 12 см.
Ответ: высота пирамиды равна м.
- В какой точке находится основание высоты пирамиды? Почему?
- Найдите длины боковых ребер, если высота пирамиды равна 12 см.
Ответ: длины боковых ребер пирамиды равны см.
Из заданий 255–257 выясняется следующее:
если боковые ребра треугольной пирамиды образуют равные углы с основанием, то проекция вершины пирамиды на основание находится в центре окружности, описанной около основания;
если боковые ребра пирамиды с прямоугольным основанием образуют равные углы с основанием, то проекция вершины пирамиды на основание находится в точке пересечения диагоналей основания.
 Рис. 2.30 | ||||||
- В какой точке расположен центр окружности, описанной около основания?
- Найдите углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды, если все боковые ребра пирамиды равны 12 м.
Ответ: углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды равны .
Ответ: стороны треугольника, являющегося проекцией на плоскость α исходного треугольника, равны
