Funktsiooni esitusviisid

  • Tabel
  • Valem
  • Graafik
Seotud sisu
Muud tegevused

Tabel või arvupaarid

Tabel

Kui funktsiooni määramis­piirkonnas on vaid lõplik arv n elementi, siis saab selle esitada tabelina, mille ühes reas on argumendi väärtused

x1, x2, …, xn

ja teises reas vastavad funktsiooni väärtused

y1, y2, …, yn.

x1

x2

...

xn

y1

y2

...

yn

Arvupaarid

Sama funktsiooni võib esitada ka arvupaaridena. Igas arvupaaris on esimeseks arvuks argumendi väärtus ja teiseks funktsiooni väärtus:

(x1; y1), (x2; y2), ..., (xn; yn).

Näide

Seitse ühe klassi õpilast läksid koos kinno. Saalis oli 15 rida, igas reas 20 istet, kuid vabu istmeid oli vähe. Esitame tabelina funktsiooni, mille väärtusteks on need seitse õpilast, argumentideks aga istmed, mille piletid nad ostsid.

Kuigi saalis oli 300 istet, on see funktsioon määratud vaid seitsmel istmel. Argumendiks oleva istme määrab rea ja koha number. Funktsiooni väärtused märgime tabelisse õpilase eesnimena. Saame näiteks järgmise tabeli.

3. rida
​19. koht

3. rida
​20. koht

5. rida
​3. koht

5. rida
​4. koht

5. rida
​5. koht

10. rida
​1. koht

10. rida
​2. koht

Jüri

Mart

Anne

Maie

Jaan

Keiu

Mati

Märka

Kui funktsiooni määramis­piirkonnas on lõpmatult palju elemente (loenduv arv või kontiinum), siis pole võimalik seda funktsiooni täielikult tabeli või arvupaaridena esitada. Sel juhul saab moodustada vaid osalise tabeli, milles on lõplik arv argumendi väärtusi ja neile vastavaid funktsiooni väärtusi. Selliseid osalisi tabeleid kasutatakse sageli valemina esitatud funktsiooni graafiku täpsemaks visandamiseks.

n

1

2

3

4

5

pn

pn2

Seotud sisu
Muud tegevused

Valem

Funktsiooni valem

Kui esitada funktsioon analüütiliselt ehk valemiga, on selle kuju

y = f(x),

kus f(x) on avaldis (valem), mis näitab, kuidas iga argumendi x väärtuse jaoks määramis­piirkonnast X tuleb arvutada vastav funktsiooni väärtus y.

Märka

Valemina esitatud funktsioonid on matemaatikas kõige tavalisemad.

Nende määramis­piirkonnaks on arvuhulk X ja muutumis­piirkonnaks arvuhulk  Y.

Näide

  1. Funktsioon fx=x2-15
  2. Funktsioon gx=x+2, kui x>0x2, kui x≤0

Kuifx=x2-15 ,  siis

  • f (–8) = 
  • f31= 

Kui gx=x+2, kui x>0x2, kui x≤0 , siis

  • g(–8) = 
  • g(8) = 
Seotud sisu
Muud tegevused

Graafik

Funktsiooni graafik

Funktsiooni y = f(x) graafikuks on punktide hulk

P(x; f(x))

(x; y)-tasandil, mille koordinaatideks on argument x ja sellele vastav funktsiooni väärtus f(x).

Märka

Kui funktsiooni määramis­­piirkonnas X on lõplik arv n elementi, siis koosneb selle graafik n eraldi punktist. Sellist funktsiooni ja selle graafikut nimetatakse diskreetseks.

Näide. Mõtle kaasa

xi

–2

–1

3

yi

–1

1

  • Leia Jüri liikumiskiirused eri teelõikudel.

Lõik

AB

BC

CD

DE

EF

Kiirus km/h

  • Jüri keskmine kiirus kogu teekonnal külla ja tagasi oli  km/h.

Perioodiline kordumine

Vaatleme naturaalarvude hulgal ℕ määratud funktsioone. Saame esitada vaid graafiku alguse, kuid sellest on näha üldine seadus­pärasus, kuidas need graafikud argumendi n kasvades jätkuvad.

Näide 1

Naturaalarvu n kolmega jagamise murdosa esitab funktsioon y=n3, n∈ℕ.

Kui jagame naturaalarvu kolmega, saame murdosad 13, 23 ja 0, mis hakkavad perioodiliselt korduma. Seega on graafikuks üksikute punktide hulk.

Näide 2

Naturaalarvu n kolmega jagamise täisosa funktsioon y=n3, n∈ℕ.

Jagamise täisosa kuni kaheni on null, kolmest viieni üks, kuuest kaheksani kaks jne. 

Seotud sisu
Muud tegevused

Joon ja punktihulk

Mis tahes punktide või joonte hulk (x; y)-tasandil on mingi funktsiooni graafikuks.

Iga joon või punktihulk ei pruugi esitada ühest funktsiooni.

Märka

Mitmesed funktsioonid on sageli esitatud kujul, kus sõltuv muutuja y ei ole avaldatud argumendi x kaudu. Sellist esitusviisi nimetatakse ilmutamata funktsiooniks.

Näide

Jooned, mis ei ole ühese funktsiooni graafikud.

Parabool, mille sümmeetria­telg y = y0 on paralleelne x-teljega. 

Iga x korral vahemikust (x0; ∞) on funktsioonil kaks väärtust y1 ja y2.

Ringjoon raadiusega r ja keskpunktiga P(x0; y0) on määratud lõigul

[x0 – r; x0 + r].

Iga x jaoks vahemikust (x0 – r; x0 + r) on funktsioonil kaks väärtust y1 ja y2.

Seotud sisu
Muud tegevused

Harjuta ja treeni

          Vanarahvatarkus ütleb: abielludes peaksid mees ja naine olema nii vanad, et kui liita mehe vanusele 15, saame tulemuseks naise kahe­kordse vanuse.

          Tabel 1

          Neiu vanus

          17

          19

          21

          23

          25

          Noormehe vanus

          Tabel 2

          Noormehe vanus

          18

          21

          24

          27

          30

          Neiu vanus

          Funktsioonina esitamine

          Saematerjali pikkus on tavaliselt 5–6 meetrit.

          1. 6-meetrine ehituspruss tuleb saagida 4 võrdseks jupiks. Mitu lõiget on vaja teha?
            Vastus.  lõiget.
          2. 6-meetrine ehituspruss tuleb lõigata 72 cm juppideks. Mitu sellist juppi saab teha?
            Vastus.  juppi.
          3. Esita vajaminevate juppide arv f tarvilike lõigete arvu x funktsioonina.
            Vastus. f(x) = 
          4. Esita lõigatud juppide arv j jupi pikkuse x funktsioonina 6-meetrise prussi lõikamise korral.
            Vastus. j(x) = 
          1. Traadist pikkusega 2 meetrit on vaja väänata ristkülik, mille üks külg on 5 cm. Mitu ruutdetsimeetrit see ristkülik katab?
            Vastus.  dm2.
          2. Ruutmeetrine pind on vaja katta ristkülikuga, mis on väänatud 2 meetri pikkusest traadist. On see võimalik?
            Vastus. 
          3. Esita 2-meetrise ümber­mõõduga ristküliku ühe külje pikkus a teise külje b pikkuse funktsioonina.
            Vastus. a = 
          4. Esita ristküliku pindala S ühe külje pikkuse a funktsioonina, kui ristküliku ümbermõõt on 2 m.
          • S = 2a – 2a2
          • S = a(a – 2)
          • S = 4a2
          • S = a – a2

          Eeskiri on lineaarse esitusviisiga
          Sv = v*[0,99*A–(0,09*A)^2]/120 
          ning arvutus­tulemused ümardatakse täisosani ja alati allapoole.

          1. Milline saab olla koefitsient Sv, kui algkiirus on 120 ühikut ja kiirusvõimekus 120 ≤ A ≤ 330?
            Vastus.  ≤ Sv ≤ 
          2. Arvuta algkiirus maksimaalse A ning Sv = –50 korral.
            Vastus. v ≈ 
          3. Millise kiirusvõimekuse korral saavutab Sv väärtuse 1, kui algkiirus on 130 ühikut?
            Vastus. A ≈ 

          Näiteks Newtoni rõngad on samapaksus­ribade interferents­nähtus, kus võib jälgida heledate ja tumedate kontsentriliste rõngaste kujutisi.

          Märka
          Märka taandatud ruutvõrrandit.
          1. Avalda segmendi kõrgus h, kui segmendi põhja raadius a = 5.

            h = R 2-
          2. Avalda kera raadius R, kui segmendi kõrgus on h = 3.

            R =a2+
          3. Avalda a valemina a = f (h), kui R = 3.

            a = h-2, h ∈ [0; 6]
          4. Avalda R valemina R = g(h), kui a = 5.

            R = 25h+ , kui h ∈ [1; 5]

          Märka

          Kehtib seos

          a2 + h2 = 2Rh

          Seotud sisu
          Muud tegevused