Funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond

Määramispiirkonna leidmine
Muutumispiirkonna leidmine

Määramispiirkonna leidmine

Funktsiooni uurimine

Funktsiooni omadusi saab uurida vaid seal, kus funktsioon on reaalselt olemas, järelikult vaid selle määramispiirkonnas. Funktsiooni uurimist alustatakse alati määramispiirkonna leidmisega.

Määramispiirkond

Funktsiooni y = f(x) määramispiirkond on muutuja x väärtuste hulk, millele antud eeskirja kohaselt on võimalik vastavusse seada sõltuva muutuja y väärtus. Funktsiooni määramispiirkonda tähistatakse tähega X.

Kaks määramispiirkonna leidmise tingimust:

Kui avaldis f(x) sisaldab murde, siis ühegi murru nimetaja ei tohi olla null.
Paarisarvulise juure juuritav ei tohi olla negatiivne.

Avaldis	Tingimus
$\frac{B (x)}{A (x)}$	A(x) ≠ 0
$\sqrt[2 k]{A (x)}$	A(x) ≥ 0, k ∈ ℕ

Määramispiirkonna leidmiseks tuleb lahendada kõigist tingimustest moodustatud võrrandi- või võrratusesüsteem.

Märka

Sulgude kasutamine

Kui piirkonna otspunkt kuulub piirkonda, siis on nurksulgude otsad pööratud selle kõrval oleva väärtuse poole.
- lõik [a; b]
Kui piirkonna otspunkt ei kuulu piirkonda, siis on kaks võimalust:
1. nurksulgude otsad on pööratud sellest väärtusest eemale (Avita paberõpikus).
  - vahemik ]a; b[
2. kasutatakse kumersulgi (siin digiõpikus).
  - vahemik (a; b)

Näited

Määramispiirkonna leidmiseks tuleb lahendada kõigist tingimustest moodustatud võrrandi- või võrratusesüsteem.

Näide 1

$y = \frac{3 x + 2}{x - 2} + \frac{x^{2} - 3 x + 4}{5 x + 2} - 2 \sqrt[3]{x}$

Funktsiooni avaldis sisaldab kahte murdavaldist, mille nimetajad peavad olema nullist erinevad.

Kuupjuure argumendile pole vaja seada mingit tingimust. Saame süsteemi

$\{\begin{array}{r} x - 2 & \neq 0 \\ 5 x + 2 & \neq 0 \end{array},$ millest $\{\begin{array}{r} x \neq & 2 \\ x \neq & -0,4 \end{array} .$

Vastus

Määramispiirkond on

X = (–∞; –0,4) ∪ (–0,4; 2) ∪ (2; ∞)
või
X = ℝ∖{–0,4; 2}.

Näide 2

$y = \frac{\sqrt{2 x - 6}}{15 - 3 x}$

Murru nimetaja ei tohi olla null ega ruutjuurealune avaldis negatiivne.

$\{\begin{array}{r} 2 x - 6 & \geq 0 \\ 15 - 3 x & \neq 0 \end{array},$ millest $\{\begin{cases} x \geq 3 \\ x \neq 5 \end{cases}$

Vastus

Määramispiirkond on

X = [3; 5) ∪ (5; ∞)
või
X = [3; ∞)∖{5}.

$f (x) = \sqrt{3 x + 9} - x$
X = ;
$g (x) = \frac{x}{\sqrt{3 x + 9}}$
X = ;

Seotud sisu

Katkev funktsioon

Katkevuskohad

Üksikuid punkte x-teljel, kus funktsiooni ei eksisteeri, kuid funktsioon on määratud punkti teatud ümbruses, nimetatakse funktsiooni katkevuskohtadeks.

Märka

Funktsiooni katkevuskoha asukoht märgitakse joonisel katkendliku püstsirgega.

Mõtle

Funktsioon katkeb kohal
x =
Funktsioonil puudub väärtus, kui
y =

Vastus

X = ; ∪; ∞)

Funktsiooni katkevuskoht on
x =

Vastus

Määramispiirkond
X = {}

Seotud sisu

Muutumispiirkonna leidmine

Muutumispiirkond

Funktsiooni y = f(x) muutumispiirkond on sõltuva muutuja y väärtuste hulk, mille elemendid saab vastavusse panna kõikide määramispiirkonnas olevate argumendi x väärtustega. Funktsiooni muutumispiirkonda tähistatakse tähega Y.

Märka

Funktsiooni muutumispiirkonda on lihtne leida graafiku järgi.
Lineaarfunktsiooni muutumispiirkond on kogu reaalarvude hulk.
Ruutfunktsiooni määramispiirkonda saab leida haripunkti järgi.

Näide

Ruutfunktsiooni muutumispiirkonna saab leida, kui on teada haripunkti y-koordinaat ja see, kas parabool avaneb üles või alla.

Funktsiooni y = 7 – x²haripunkt on punktis

H(0; 7)

ja parabool avaneb alla. Seega on y = 7 selle funktsiooni suurim väärtus ja muutumispiirkond on

Y = (–∞; 7].

Mõtle

Y = [0; ∞)
Y = (0; ∞)
Y = (–∞; ∞)
Y = (–∞; 0) U (0; ∞)

Y = (–∞; 2) U (2; ∞)
Y = (–∞; 1) U (1; ∞)
Y = (–∞; 1] U [1; ∞)
Y = ℝ∖{2}
Y = ℝ∖{1}
Y = [–∞; 1) U (1; ∞]

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Määramispiirkond

Leia funktsioonide määramispiirkond.

(–∞; 9)
ℝ∖{9}
ℝ∖{–1; 5}
ℝ
ℝ∖{2}

1) y = 18 – 2x	X =
2) y = x² – 4x + 5	X =
3) $y = \frac{x^{3} - 8}{9}$	X =

ℝ∖{1; 2}
ℝ∖{1}
ℝ∖{0}
ℝ∖{–1; 2}
ℝ
ℝ∖{0; 2}
ℝ∖{4}

1) $f (x) = \frac{x - 2}{1 - x}$	X =
2) $f (x) = \frac{4}{x^{2} - x - 2}$	X =
3) $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{2 x - x^{2}}$	X =

(–3; 3)
[–3; 3]
(–∞; –3] U [3; ∞)
[–2; 3)
(–2; 3]
[–2; 3]
(6; ∞)
[6; ∞)

$1) g (x) = \sqrt{\frac{x}{3} - 2}$	X =
$2) g (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$	X =
$3) g (x) = \sqrt{\frac{2 x + 4}{3 - x}}$	X =

Määramis- ja muutumispiirkond

Leia joonistel kujutatud funktsioonide määramis- ja muutumispiirkond.

(–∞; 0)
(0; ∞)
ℝ
∅

X =
Y =

(–∞; 0)
(–6; 2)
(–∞; 6]
ℝ
(–∞; 6)

X =
Y =

ℝ
(–2; 4)
[1; ∞)
(1; ∞)
[–2; 6]

X =
Y =

ℝ
ℝ∖{2}
(–∞; 0) U (0; ∞)
(–∞; 2]
(–∞; 2)
[–6; 6]

X =
Y =

Seotud sisu

Jäta meelde

Määramispiirkond on arvuhulk
Muutumispiirkond on arvuhulk

X
Y

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Funktsiooni määramis- ja muutumis­piirkond

Seotud sisu

Määramispiirkonna leidmine

Funktsiooni uurimine

Määramispiirkond

Märka

Sulgude kasutamine

Näited

Näide 1

Vastus

Näide 2

Vastus

Seotud sisu

Katkev funktsioon

Katkevuskohad

Märka

Mõtle

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Muutumis­piirkonna leidmine

Muutumispiirkond

Märka

Näide

Mõtle

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Määramispiirkond

Määramis- ja muutumispiirkond

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond

Muutumispiirkonna leidmine