Funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

Nullkohad
Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

Seotud sisu

Kui y = 0

Nullkohad

Funktsiooni nullkohtadeks on argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus võrdub nulliga, st

f(x) = 0, x ∈ X.

Nullkohtades funktsiooni graafik lõikab või puudutab x-telge.

Märka

Nullkohtade hulka tähistatakse

X₀võiX⁰.

Nullkohad kirjutatakse kasvavalt loogeliste sulgude vahele.

Näide

Vaatleme funktsiooni y = f(x), mis on määratud kogu reaalarvude hulgal ja mille graafik on esitatud joonisel.

Selle funktsiooni nullkohad on

x₁ = –1; x₂ = 2; x₃ = 3 ja x₄ = 6.

Nullkohtade hulk X₀ = {–1; 2; 3; 6}.

Mõtle

X₀ = {; ; ; }

f(x) = x² – 18x + 77
X₀ = {; }
$g (x) = 10 - \frac{8}{x}$
X₀ =
h(x) = 8 – 5x + x²
X₀ =

Seotud sisu

Positiivne ja negatiivne

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

Positiivsuspiirkond

Funktsiooni positiivsuspiirkond koosneb argumendi väärtustest, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne.

Positiivsuspiirkond on võrratuse

f(x) > 0 lahendihulk,

kusjuures x ∈ X.

Positiivsuspiirkonnas asub funktsiooni graafik x-teljest ülalpool.

Negatiivsuspiirkond

Funktsiooni negatiivsuspiirkond koosneb argumendi väärtustest, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne.

Negatiivsuspiirkond on võrratuse

f(x) < 0 lahendihulk,

kusjuures x ∈ X.

Negatiivsuspiirkonnas asub funktsiooni graafik x-teljest allpool.

Märka

Positiivsuspiirkonda tähistatakse X⁺ ja negatiivsuspiirkonda X^–.

Nullkohtade hulk koos positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnaga moodustavad funktsiooni määramispiirkonna.

X₀ ∪ X⁺ ∪ X^– = X

Kui positiivsus- ja negatiivsuspiirkond koosneb mitmest vahemikust, siis järjestatakse need arvteljele vastavalt vasakult paremale.

Näide

Vaatleme funktsiooni y = f(x), mis on määratud kogu reaalarvude hulgal ja mille graafik on esitatud joonisel.

Selle funktsiooni positiivsuspiirkond on

X⁺ = (–∞; –1) ∪ (2; 3) ∪ (3; 6)

ja negatiivsuspiirkond on

X^– = (–1; 2) ∪ (6; ∞).

(–∞; –3)
(–3; 0)
(0; 1)
(1; 3)
(3; ∞)

X⁺ =  ∪  ∪ 

X ^— =  ∪  

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

X₀, X⁺, X^– jooniselt

Määra jooniste põhjal funktsioonide nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond.

(–∞; 2)
(–∞; 0)
(–∞; –2)
(2; ∞)
(0; 2)
(–2; 0)
(–2; ∞)
{–2; 0; 2}
{0; 2}
{–2; 2}

X₀ =
X⁺ =  ∪ 
X^– =  ∪

(–∞; 2) ∪
(–∞; 0)
(–∞; –2)
(2; ∞)
(0; 2)
(–2; 0)
(–2; ∞)
{–2; 0; 2}
{0; 2}
{–2; 2}

X₀ =
X⁺ =
X^– = ∪

(–∞; 2)
(–∞; 0)
(–∞; –2)
(2; ∞)
(0; 2)
(–2; 0)
(–2; ∞)
{–2; 0; 2}
{0; 2}
{–2; 2}

X₀ =
X⁺ =  ∪
X^– = ∪

(–∞; 2)
(–∞; 0)
(–∞; –2)
(2; ∞)
(0; 2)
(–1; 1)
(–2; –1)
(1; 2)
(–2; 0)
(–2; ∞)
{–2; 0; 2}
{0; 2}
{–2; 2}

X₀ =
X⁺ =  ∪  ∪ 
X^– = ∪

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

Leia funktsioonide positiivsus- ja negatiivsuspiirkond.

y = (x – 3)(2 + x)

X⁺ =

(–∞; 0) ∪ (2; ∞)
(–∞; –2) ∪ (3; ∞)
(–∞; 2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –3) ∪ (2; ∞)
(–2; 3)
(2; 3)
(–3; 2)
(0; 3)

X ^– =

(–∞; 0) ∪ (2; ∞)
(–∞; 2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –3) ∪ (2; ∞)
(2; 3)
(–2; 3)
(–3; 2)
(0; 3)

y = (x – 3)(2 – x)

X⁺ =

(–∞; 0) ∪ (2; ∞)
(–∞; –2) ∪ (3; ∞)
(–∞; 2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –3) ∪ (2; ∞)
(–2; 3)
(2; 3)
(–3; 2)
(0; 3)

X ^– =

(–∞; 0) ∪ (2; ∞)
(–∞; 2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –3) ∪ (2; ∞)
(2; 3)
(–2; 3)
(–3; 2)
(0; 3)

y = (6 – 2x)(x + 2)

X⁺ =

(–∞; 0) ∪ (2; ∞)
(–∞; –2) ∪ (3; ∞)
(–∞; 2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –3) ∪ (2; ∞)
(–2; 3)
(2; 3)
(–3; 2)
(0; 3)

X ^– =

(–∞; 0) ∪ (2; ∞)
(–∞; 2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –3) ∪ (2; ∞)
(2; 3)
(–2; 3)
(–3; 2)
(0; 3)

y = (2x + 6)(x – 2)

X⁺ =

(–∞; 0) ∪ (2; ∞)
(–∞; –2) ∪ (3; ∞)
(–∞; 2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –3) ∪ (2; ∞)
(–2; 3)
(2; 3)
(–3; 2)
(0; 3)

X ^– =

(–∞; 0) ∪ (2; ∞)
(–∞; 2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –2) ∪ (3; ∞)
(–∞; –3) ∪ (2; ∞)
(2; 3)
(–2; 3)
(–3; 2)
(0; 3)

Funktsiooni uurimine

Uuri joonistel kujutatud funktsioone.

(–∞; –1)
(–1; ∞)
(–∞; 2)
(10; ∞)
(2; ∞)
{0; 4}
(0; 4)
(–1; 0)
(4; ∞)

X =  ∪ 
Y =  ∪ 
X₀ =
X⁺ =  ∪ 
X^– =  ∪

∅
ℝ
(1; ∞)
[1; ∞)
(–∞; 2)
{0}
[0; 2]
(0; 2)
{1}
{2}

X =
Y =
X₀ =
X⁺ =
X^– =

Funktsiooni väärtuse märk

Uuri, kas funktsiooni väärtused on antud piirkonnas negatiivsed või positiivsed.

Funktsiooni y = x⁴ – 3x² – 4 väärtused on

poollõigul [–4; –2)
lõigul [–1; 1]
lõigul [3; 4]

Funktsiooni y = x⁴ – 25x² + 144 väärtused on

vahemikus (–4; –3)
lõigul [–1; 1]
lõigul [3,3; 3,5]

Ühine ...

f(x) = –2x + 6

g(x) = x² – 2x – 3

Funktsioonide ühine positiivsuspiirkond on

(–∞; 3)
(–∞; –3)
(3; ∞)
(–∞; –1)
(–3; ∞)
(–1; ∞)

f(x) = x² + 8x

g(x) = – x² – 6x

Funktsioonide ühine negatiivsuspiirkond on

(–∞; –8)
(–∞; –6)
(–8; 0)
(8; ∞)
(–6; 0)
(–8; –6)
(6; 8)
(–8; 6)
(0; ∞)
(–6; 8)

f(x) = x³ – 2x² – 9x + 18

g(x) = x³ + 6x² – 9x – 54

Nõuanne

Nullkohtade leidmiseks tegurda funktsiooni avaldis rühmitamisvõttega.

Ühised nullkohad puuduvad
X₀ = {–3; 2; 3}
X₀ = {–3; 3}
X₀ = {–3}
X₀ = {2}
X₀ = {2; 3}
X₀ = {3}
X₀ = {–2; 3}

f(x) = x³ – 5x²– 4x + 20

g(x) = x⁴ – 29x² + 100

Vihje

Nullkohtade leidmiseks tegurda esimese funktsiooni avaldis rühmitamisvõttega ja teine biruutvõrrandi lahendamisega.

Ühised nullkohad puuduvad
X₀ = {–5; –2; 2; 5}
X₀ = {–5; –2}
X₀ = {2; 5}
X₀ = {–2; 2}
X₀ = {–2; 2; 5}
X₀ = {–5; 5}
X₀ = {–2}

f(x) = x⁶ – 7x³ – 8

$g (x) = \frac{x + x^{2}}{3 - x}$

Ühised nullkohad puuduvad
X₀ = {–1; 0; 2}
X₀ = {0; 2}
X₀ = {–1; 2}
X₀ = {2}
X₀ = {–1}
X₀ = {0}
X₀ = {–1; 0}

Graafik

X = ℝ∖{–3; 3}

X₀ = {2}

X⁺ = (–3; 2) ∪ (3; ∞)

X^– = (–∞; –3) ∪ (2; 3)

Graafik

X = ℝ

X₀ = {–1; 0; 1}

X⁺ = (–1; 0) ∪ (0; 1)

X^– = (–∞; –1) ∪ (1; ∞)

Graafik

X = ℝ∖{–2}

X₀ = {–1; 1}

X⁺ = (–2; –1) ∪ (1; ∞)

X^– = (–∞; –2) ∪ (–1; 1)

Graafik

X = ℝ

X₀ = {1}

X⁺ = (1; ∞)

X^– = (–∞; 1)

Graafik

X = ℝ∖{2}

X₀ = {0}

X⁺ = (–∞; 0) ∪ (2; ∞)

X^– = (0; 2)

Graafik

kirjeldus puudub

Graafikud

Seotud sisu

Jäta meelde

Nullkohad	X₀	f(x) 0
Positiivsuspiirkond	X⁺	f(x) 0
Negatiivsuspiirkond	X^–	f(x) 0

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsus­piirkond

Seotud sisu

Kui y = 0

Nullkohad

Märka

Näide

Mõtle

Seotud sisu

Positiivne ja negatiivne

Positiivsus- ja negatiivsus­piirkond

Positiivsuspiirkond

Negatiivsuspiirkond

Märka

Näide

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

X0, X+, X– jooniselt

Positiivsus- ja negatiivsus­piirkond

Funktsiooni uurimine

Funktsiooni väärtuse märk

Ühine ...

Nõuanne

Vihje

Graafikud

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

X₀, X⁺, X^– jooniselt

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond