Pöördfunktsioon

Peegeldamine
Üksühene funktsioon
Pöördfunktsiooni leidmine
Teoreem pöördfunktsiooni graafikust

Seotud sisu

Peegeldus ja sümmeetria

Sirge t peegeldus üle x-telje on sirge.
Sirge t peegeldus üle y-telje on sirge.
Sirge t peegeldus üle sirge y = x on sirge.

Sirged

Peegeldus üle y-telje on

lilla
roheline
oranž
sinine

Peegeldus üle x-telje on

roheline
oranž
sinine
lilla

Peegeldus üle sirge y = x

sinine
lilla
roheline
oranž

Peegeldused

Seotud sisu

Üksühene funktsioon

Funktsiooni pöördteisendus

Kui funktsioon y = f(x) on eeskiri või teisendus, mille kohaselt hulga X elemendile x seatakse vastavusse mingid hulga Y element y, siis pöördfunktsioon või pöördteisendus teisendab funktsiooni y = f(x) väärtused tagasi argumentide väärtusteks. Seejuures ei pruugi ühese funktsiooni pöördfunktsioon olla samuti ühene.

Näide 1

Funktsioon seab iga antud kooli õpilasega vastavusse tema isikukoodi.
- See on ühene funktsioon. Pöördfunktsioon seab isikukoodiga vastavusse ainsa õpilase, kelle kood see on.
- Seega pöördfunktsioon on samuti ühene ja vaadeldav funktsioon on üksühene.
Funktsioon seab iga antud kooli õpilasega vastavusse tema pikkuse.
- See on ühene funktsioon. Pöördfunktsioon seab pikkuse väärtusega vastavusse kõik need õpilased, kes on sellist kasvu.
- Kuna ühepikkuseid õpilasi saab olla mitu, siis see pöördfunktsioon ei ole enam ühene, vaid on mitmene.

Üksühene funktsioon

Ühest funktsiooni, mille pöördfunktsioon on samuti ühene, nimetatakse üksüheseks funktsiooniks.

Definitsioon

Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon y = g(x) on eeskiri, seaduspärasus või teisendus, mis igale funktsiooni y = f(x) väärtusele y seab vastavusse selle argumendi x väärtuse, mille korral f(x) = y.

Funktsioon y = f(x) ja selle pöördfunktsioon y = g(x).

Üldjuhul seab pöördfunktsioon y = g(x) iga muutuja y väärtuse vastavusse kõik need argumendi x väärtused, mille korral f(x) = y.

Märka

Igal funktsioonil on pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooni tähistatakse

y = f ^–1(x).

Seda tähistust ei tohi segamini ajada funktsiooni miinus esimese astmega

[f(x)]^–1.

Seotud sisu

Pöördfunktsiooni leidmine

Määramis- ja muutumispiirkond

Olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y.
Olgu pöördfunktsiooni määramispiirkond $\tilde{X}$ ja muutumispiirkond $\tilde{Y} .$
Vastavalt definitsioonile teisendab pöördfunktsioon hulga Y hulgaks X. Järelikult

$\tilde{X} = Y$ ja $\tilde{Y} = X .$

Pöördfunktsiooni leidmise sammud

1. Funktsiooni y = f(x) avaldisest avaldatakse argument x funktsiooni väärtuse y kaudu:

y = f(x) ⇔ x = f ^–1(y) = g(y).

2. Leitud funktsiooni argumendiks võetakse muutuja x ning funktsiooni väärtuseks muutuja y. Saame pöördfunktsiooni

y = f^–1(x) = g(x).

Märka

Kui võtame pöördfunktsioonile veel kord pöördfunktsiooni, saame esialgse funktsiooni.

$\begin{array}{r} y = f (x) \\ y = f^{- 1} (x) = g (x) \end{array}\} \Rightarrow$

$\Rightarrow y = g^{- 1} (x) = f (x)$

Funktsiooni graafik ja selle pöördfunktsiooni graafik on sümmeetrilised sirge y = x suhtes.

Näide 2

Leiame funktsiooni y = 2x + 3 pöördfunktsiooni.

1. Avaldame muutuja x muutuja y kaudu.

y = 2x + 3
2x = y – 3
x = 0,5y – 1,5

2. Viimasest võrdusest leiame pöördfunktsiooni.

y = 0,5x – 1,5

3. Nii funktsioon kui ka selle pöördfunktsioon on määratud kogu reaalarvude hulgal.

Vastus

Funktsiooni y = 2x + 3 pöördfunktsioon on y = 0,5x - 1,5.

Lineaarfunktsiooni pöördfunktsioon

Näide 3

Leiame funktsiooni $y = \sqrt{x - 2}$ pöördfunktsiooni.

1. Funktsioon on määratud piirkonnas X = [2; ∞).

2. Võtame võrduse pooled ruutu ja avaldame x.

y² = x – 2 ⇔ x = y² + 2

3. Esialgses avaldises sai y olla vaid mittenegatiivne. Seega peame selle nõude lisama saadud ruutfunktsioonile.

x = y² + 2, y ≥ 0

4. Siit saame pöördfunktsiooni

y = x² + 2, x ≥ 0.

$\tilde{X} = Y = [0; \infty)$ ja $\tilde{Y} = X = [2; \infty) .$

Vastus

Funktsiooni $y = \sqrt{x - 2}$ pöördfunktsioon on y = x² + 2, x ≥ 0.

Juurfunktsiooni pöördfunktsioon

$y = \sqrt{x - 2}$ pöördfunktsiooni graafikuks on see pool paraboolist y = x² + 2, mis asub y-teljest paremal.

Näide 4

Leiame funktsiooni y = x² – 2x – 3 pöördfunktsiooni.

1. Avaldame muutuja x funktsioonist y = x² – 2x – 3.

x² – 2x – (3 + y) = 0
$x = 1 \pm \sqrt{4 + y}$

2. Seega on pöördfunktsioon $y = 1 \pm \sqrt{4 + x} .$

3. Pöördfunktsioon on kahene funktsioon, mis koosneb kahest harust

$y_{1} = 1 + \sqrt{4 + x}$
ja
$y_{2} = 1 - \sqrt{4 + x} .$

4. Funktsiooni määramispiirkond X = ℝ.

5. Pöördfunktsiooni määramispiirkond $\tilde{X} = [- 4; \infty) .$ $Y = \tilde{X} = [- 4; \infty)$ ja $X = \tilde{Y} = ℝ .$

Vastus

Funktsiooni y = x² – 2x – 3 pöördfunktsioon on kahene funktsioon $y = 1 \pm \sqrt{4 + x} .$

Ruutfunktsiooni pöördfunktsioon

1) y = x + 5 pöördfunktsioon on

$x = y + 5$
$y = x - 5$
$y = x + 5$

2) y = –2x + 8 pöördfunktsioon on

$y = 2 x + 8$
$y = 2 x - 8$
$y = -0,5 x + 4$
$y = 0,5 x - 4$

3) $y = \frac{3}{x - 1}$ pöördfunktsioon on

$y = \frac{3 + x}{x}$
$y = \frac{3 - x}{x}$
$y = \frac{x - 1}{3}$
$y = 3 x - 3$

Seotud sisu

Funktsiooni muutumispiirkond

Muutumispiirkonna leidmine

Funktsiooni määramispiirkonna leidmiseks tuleb vajaduse korral koostada võrratuste süsteem ja see lahendada.
Muutumispiirkonna leidmiseks võib kasutada funktsiooni graafikut, kuid graafiku visandamine võib sageli osutuda töömahukaks.
Kuna teame, et muutumispiirkond on pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks, saame ka selle leida võrratuste süsteemi kaudu, leides eelnevalt pöördfunktsiooni.

Märka

Lineaarfunktsiooni muutumispiirkond on Y = ℝ.
Ruutfunktsiooni muutumispiirkonna saab leida, kui teame haripunkti ordinaati ning seda, kas parabool avaneb üles või alla.

Näide

Leiame funktsiooni $y = \frac{2 x - 7}{x + 3}$ määramis- ja muutumispiirkonna.

Lahendus

1. Määramispiirkonda ei kuulu x = –3, sest x + 3 ≠ 0.

X = ℝ∖{–3} või X = (–∞; –3) ∪ (–3; ∞)

2. Leiame pöördfunktsiooni.

y(x + 3) = 2x – 7
2x – yx = 3y + 7
x(2 – y) = 3y + 7
$x = \frac{3 y + 7}{2 - y}$

3. Pöördfunktsioon on $y = \frac{3 x + 7}{2 - x}$ ja selle määramispiirkonda ei kuulu x = 2. Järelikult, $Y = \tilde{X} = ℝ \ \{2\} .$

Vastus

Funktsiooni määramispiirkond on X = ℝ∖{–3} ja muutumispiirkond Y = ℝ∖{2}.

y = x + 5
Y =
$y = \frac{x - 1}{x + 5}$
Y = ℝ∖{}
$y = \frac{2 x}{x - 4}$
Y = ℝ∖{}

Seotud sisu

Teoreem pöördfunktsiooni graafikust

Teoreem

Funktsiooni y = f(x) graafik ja selle pöördfunktsiooni y = g(x) graafik on sümmeetrilised sirge y = x suhtes.

Tõestus

Olgu P(x₀ ; y₀) üks punkt funktsiooni y = f(x) graafikul, seega,

y₀ = f(x₀ ).

Et pöördfunktsioon teisendab funktsiooni väärtuse y₀ tagasi argumendi väärtuseks x₀, siis

x₀ = g(y₀).

Järelikult punkt Q(y₀; x₀) asub pöördfunktsiooni y = g(x) graafikul.

Leiame vektori PQ.

$\vec{P Q} = (y_{0} - x_{0}; x_{0} - y_{0}) = (y_{0} - x_{0}) \cdot \vec{p}$

$\vec{p} = (1; - 1)$ ja sirge y = x normaalvektor $\vec{n} = (1; - 1) .$ Seega, $\vec{P Q} = (y_{0} - x_{0}) \cdot \vec{n}$ ja $\vec{P Q} ∥ \vec{n} .$
Järelikult on lõik PQ risti sirgega y = x.
Leiame lõigu PQ keskpunkti A.

$A (\frac{y_{0} + x_{0}}{2}; \frac{x_{0} + y_{0}}{2}) = (a; a)$

Kõik punktid, mille koordinaadid on võrdsed, asuvad sirgel y = x. Järelikult, punktid P ja Q on sümmeetrilised sirge y = x suhtes.
Kuna punkt P on funktsiooni y = f(x) graafiku suvaline punkt, siis on graafikud sümmeetrilised I ja III veerandi nurgapoolitaja y = x suhtes. ■

Iseenda pöördfunktsioon

Liugurite abil saad muuta sirge ja ringjoone asukohta ning ringjoone raadiust.

Märka

Kõik funktsioonid, mille graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes, on iseenda pöördfunktsioonid.

Sellisteks graafikuteks on näiteks

kõik sirged y = b – x, mis on risti sirgega y = x
kõik ringjooned, mille keskpunkt asub sirgel y = x.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Pöördfunktsioonid

Leia funktsiooni pöördfunktsioon ning vali pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond.

Funktsioon
y = 5x – 6

Pöördfunktsioon
y = x

(–∞; ∞)
(–∞; 0)∪(0; ∞)
(–∞; –1)∪(–1; ∞)
(–∞; 6)∪(6; ∞)

$\tilde{X} =$

$\tilde{Y} =$

Funktsioon
$y = \frac{2}{x + 3}$

Pöördfunktsioon
$y = \frac{}{}$

(–∞; ∞)
(–∞; 0)∪(0; ∞)
(–∞; –3)∪(–3; ∞)
(–∞; –1)∪(–1; ∞)
(–∞; 6)∪(6; ∞)

$\tilde{X} =$

$\tilde{Y} =$

Funktsioon
$y = \frac{2 + x}{6 - x}$

Pöördfunktsioon
$y = \frac{}{}$

(–∞; ∞)
(–∞; 0)∪(0; ∞)
(–∞; –3)∪(–3; ∞)
(–∞; –1)∪(–1; ∞)
(–∞; 6)∪(6; ∞)

$\tilde{X} =$

$\tilde{Y} =$

Funktsiooni graafik ja pöördfunktsioon

Leia jooniste hulgast funktsiooni f(x) graafik, koosta pöördfunktsiooni avaldis y = f^–1(x) ja leia küsitud suurused.

Funktsiooni f(x) = 2 – 0,4x graafik on nr .
Pöördfunktsioon:
y = x + .
Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud lõikuvad punktis $(\frac{}{}; \frac{}{}) .$

Funktsiooni f(x) = 0,1x³ graafik on nr .
Pöördfunktsioon:
y = $\sqrt[3]{}$
Funktsiooni ja pöördfunktsiooni paarsus:
f(x)
f^–1(x)
Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafiku lõikepunktide arv on

Funktsiooni f(x) = x^0,5 + 4 graafik on nr .
Funktsiooni määramis– ja muutumispiirkond:
X =
Y =
Pöördfunktsioon:
y = ()²
Pöördfunktsiooni määramispiirkond:
$\tilde{X} =$
Pöördfunktsiooni graafikul on x-teljega ja y-teljega ühist punkti.

Märkus

Arvesta määramispiirkonnaga.

Funktsiooni f(x) = x^–2 + 2 graafik on nr .
Funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond:
X =
Y =
Pöördfunktsioon:
$y = \frac{1}{\sqrt{}}$
Pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond:
$\tilde{X} =$
$\tilde{Y} =$
Lõigul [3; 4] f(x) ja f^–1(x) väärtused

Funktsiooni f(x) = (x + 3 )^–1 graafik on nr .
Funktsiooni katkevuskoht on
x = .
Pöördfunktsioon:
$y = \frac{}{}$
Pöördfunktsiooni katkevuskoht on
x = .
Arvuta f^–1(0,5) = .
Kui f(x) = 0,5, siis x =.
Punkti (–4; –1) peegeldus sirgest y = x graafikul.

Funktsiooni $f (x) = \frac{x - 2}{x + 3}$ graafik on nr .
Funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond:
X =
Y =
Pöördfunktsioon:
$y = \frac{}{}$
Pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond:
$\tilde{X} =$
$\tilde{Y} =$
Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud

Graafikud 1-5

Graafikud 6-9

Ruutfunktsiooni graafik ja pöördfunktsioon

Leia jooniste hulgast funktsiooni f(x) graafik ja koosta pöördfunktsiooni avaldis y = f^–1(x). Leia määramis- ja muutumispiirkonnad ning miinimumid ja maksimumid.

Funktsiooni f(x) = 8x – 4x² graafik on nr .
Funktsiooni määrami- ja muutumispiirkond:
X =
Y =
Pöördfunktsioon:

$y = \frac{\pm \sqrt{}}{2}$

Märkus

Pöördfunktsiooni avaldise leidmisel kasuta ruutvõrrandi lahendivalemit.

Pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond:
$\tilde{X} =$
$\tilde{Y} =$
Funktsiooni f(x) miinimum ja maksimum

Funktsiooni f(x) = x² – 4x + 1 graafik on nr .
Funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond:
X =
Y =
Pöördfunktsioon:

$y = \pm \sqrt{}$

Märkus

Pöördfunktsiooni avaldise leidmisel kasuta taandatud ruutvõrrandi lahendivalemit.

Pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond:
$\tilde{X} =$
$\tilde{Y} =$
Funktsiooni f(x) miinimum ja maksimum .

Funktsiooni f(x) = |x² – 4| graafik on nr .
Funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond:
X =
Y =
Pöördfunktsioon:

$\{\begin{cases} y = \pm \sqrt{x + 4} \\ y = \pm \sqrt{} \end{cases}$

Pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond:
$\tilde{X} =$
$\tilde{Y} =$
Funktsiooni f(x) miinimum ja maksimum

Seotud sisu

Jäta meelde

Funktsiooni f(x) ja pöördfunktsiooni f^–1(x) graafikud on sümmeetrilised

y-telje suhtes.
sirge y = x suhtes.
sirge y = –x suhtes.
x- telje suhtes.

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Pöörd­funktsioon

Seotud sisu

Peegeldus ja sümmeetria

Sirged

Peegeldused

Seotud sisu

Üksühene funktsioon

Funktsiooni pöörd­teisendus

Näide 1

Üksühene funktsioon

Definitsioon

Märka

Seotud sisu

Pöördfunktsiooni leidmine

Määramis- ja muutumis­piirkond

Pöördfunktsiooni leidmise sammud

Märka

Näide 2

Vastus

Lineaarfunktsiooni pöördfunktsioon

Näide 3

Vastus

Juurfunktsiooni pöördfunktsioon

Näide 4

Vastus

Ruutfunktsiooni pöördfunktsioon

Seotud sisu

Funktsiooni muutumis­piirkond

Muutumis­piirkonna leidmine

Märka

Näide

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Teoreem pöördfunktsiooni graafikust

Teoreem

Tõestus

Iseenda pöördfunktsioon

Märka

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Pöördfunktsioonid

Funktsiooni graafik ja pöörd­funktsioon

Märkus

Graafikud 1-5

Graafikud 6-9

Ruutfunktsiooni graafik ja pöörd­funktsioon

Märkus

Märkus

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Pöördfunktsioon

Funktsiooni pöördteisendus

Määramis- ja muutumispiirkond

Funktsiooni muutumispiirkond

Muutumispiirkonna leidmine

Funktsiooni graafik ja pöördfunktsioon

Ruutfunktsiooni graafik ja pöördfunktsioon