Liitfunktsioon

Liitfunktsioon
Liitfunktsiooni moodustamine

Liitfunktsioon

Liitfunktsiooni mõiste

Kui funktsiooni y = f(u) argumendiks olev muutuja on omakorda funktsioon u = g(x), siis on muutuja y muutuja x liitfunktsioon ja seda tähistatakse

y = f[g(x)].

Argumendiks olevat funktsiooni u = g(x) nimetatakse sisemiseks funktsiooniks.
Funktsiooni y = f(u) nimetatakse välimiseks funktsiooniks.

Märka

Funktsiooni argumendiks võib olla nii sõltumatu muutuja kui ka muutuja, mis omakorda sõltub mingist teisest muutujast ehk on selle teise muutuja funktsioon.

Näited

Näide 1

Väga sageli on liitfunktsiooni argumendiks muutuja ja mingi arvu korrutis või selle muutuja lineaaravaldis.

Näiteks liitfunktsiooni y = (2x – 3)² sisemiseks funktsiooniks on lineaarfunktsioon

u = 2x – 3

ja välimiseks funktsiooniks ruutfunktsioon

y = u².

Näide 2

Liitfunktsiooni $y = \sqrt[3]{7 x}$ saame esitada kujul

$y = \sqrt[3]{u},$ kus u(x) = 7x.

Järelikult, välimiseks funktsiooniks on

$y = \sqrt[3]{u}$

ja sisemiseks

u(x) = 7x.

Näide 3

Keerulisema argumendiga liitfunktsioonid on näiteks

$y = \sqrt{1 + 2 \sqrt{x}},$

$y = {(3 - \frac{2}{2 x + 1})}^{2},$

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} - x + 2} .$

y = 2 + (5x² – 3)³

Välimine funktsioon

y = 2 + u³
y = u³
y = 5x² – 3
y = (5x² – 3)³

Sisemine funktsioon

u = 2 + x³
u = (5x² – 3)³
u = x³
u = 5x² – 3

Seotud sisu

Liitfunktsiooni moodustamine

Tingimus

Olgu funktsiooni u = g(x) määramispiirkond X₁ ja muutumispiirkond Y₁ ning funktsiooni y = f(u) määramispiirkond X₂ ja muutumispiirkond Y₂.

Sel juhul on liitfunktsioon y = f[g(x)] määratud hulga X₁ sellel osal X, mille funktsioon u = g(x) teisendab hulgaks

U = Y₁ ∩ X₂.

Seega ei tohi liitfunktsiooni korral olla sisemise funktsiooni muutumispiirkonna ja välimise funktsiooni määramispiirkonna ühisosa tühi.

Märka

Funktsioonide

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ määramispiirkonnaga

X₂ = (0; ∞),

$g (x) = - \sqrt{x}$ muutumispiirkonnaga

Y₁ = (–∞; 0),

liitfunktsiooni y = f[g(x)] ei eksiteeri, sest

X₂ ∩ Y₁ = ∅.

Näide 4

On antud funktsioonid

f(x) = x² + 2x ja $g (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} .$

Moodustame kaks liitfunktsiooni.

A. Liitfunktsioon y = f[g(x)]

Välimine funktsioon on y = f(u) = u² + 2u.
- Määramispiirkond X₂= ℝ.
Sisemine funktsioon on u=gx=1x.
- Muutumispiirkond Y₁ = (0; ∞).
- Y₁ ∩ X₂ ≠ ∅
Liitfunktsiooniks saame

$y = {(g (x))}^{2} + 2 \cdot g (x) =$

$= \frac{1}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} .$

Liitfunktsiooni määramispiirkond on X = (0; ∞).

Vastus

$y = f [g (x)] = \frac{1}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

B. Liitfunktsioon y = g[f(x)]

Välimine funktsioon on u=gv=1v.
- X₂= (0; ∞)
Sisemine funktsioon on v = f(x) = x² + 2x.
- Y₁= [–1; ∞)
- Y₁∩ X₂ ≠ ∅
Liitfunktsiooniks saame

$y = \frac{1}{\sqrt{f (x)}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}} .$

Liitfunktsiooni määramispiirkond on

X₂ = (–∞; –2)∪(0; ∞).

Vastus. $y = g [f (x)] = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}}$

Näide 5

Leiame liitfunktsiooni y = f[f(x)], kui $f (x) = 1 + \frac{2}{x} .$

1. Välimine funktsioon

$f (u) = 1 + \frac{2}{u}$

2. Sisemine funktsioon

$f (x) = 1 + \frac{2}{x}$

3. Liitfunktsioon

$f [f (x)] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{x}} = 1 + \frac{2 x}{x + 2}$

Vastus

$y = f [f (x)] = 1 + \frac{2 x}{x + 2}$

f(x) = 2x

g(x) = x +2

y = f[f(x)] =

x + 4
2x + 4
2x + 2
4x

y = f[g(x)] =

x + 4
2x + 4
2x + 2
4x

y = g[f(x)] =

x + 4
2x + 4
2x + 2
4x

y = g[g(x)] =

x + 4
2x + 4
2x + 2
4x

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Sisemine ja välimine

Leia funktsioonid, millest koosneb antud liitfunktsioon.

$y = \sqrt{2 x - 1}$

Sisemine funktsioon on

$u = 2 x$
$u = 2 x - 1$
$u = \sqrt{2 x}$
$u = \sqrt{2 x - 1}$

Välimine funktsioon on

$y = 2 u - 1$
$y = \sqrt{2 u - 1}$
$y = \sqrt{2 u}$
$y = \sqrt{u}$

y = (1 – x)⁷

Sisemine funktsioon on

u = x⁷
y = u⁷
u = 1 – x
y = (1 – u)⁷

Välimine funktsioon on

u = x⁷
y = u⁷
u = 1 – x
y = (1 – u)⁷

$y = \frac{1}{x^{2} - x}$

Sisemine funktsioon on

u = x² – x
y = u² – u
u = (x² – x)^–1
y = u^–1

Välimine funktsioon on

u = x² – x
y = u² – u
u = (x² – x)^–1
y = u^–1

Liitfunktsiooni moodustamine

Moodusta antud funktsioonidest liitfunktsioonid.

f(x) = 2x²

g(x) = x +2

1) y = f[f(x)] =

2x² + 8x + 8
8x²
2x² + 2
2x³ + 4x²
8x⁴
x + 4

2) y = f[g(x)] =

2x² + 8x + 8
8x²
2x² + 2
2x³ + 4x²
8x⁴
x + 4

3) y = g[f(x)] =

2x² + 8x + 8
8x²
2x² + 2
2x³ + 4x²
8x⁴
x + 4

4) y = g[g(x)] =

2x² + 8x + 8
8x²
2x² + 2
2x³ + 4x²
8x⁴
x + 4

f(x) = x² – 1

$g (x) = \sqrt{x} - 1$

1) f[f(x)] =

$(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$
$x^{4} - 2 x^{2}$
$x^{4} - 2 x^{2} + 1$
$x^{4} - 2 x^{2} - 1$

2) f[g(x)] =

$(x^{2} - 1) (\sqrt{x} - 1)$
${(\sqrt{x} - 1)}^{2}$
$x - 2 \sqrt{x} - 1$
$x - 2 \sqrt{x}$

3) g[f(x)] =

$\sqrt{x^{2} - 1}$
$\sqrt{x^{2} - 1} - 1$
$x - 1$
$x - 2$

4) g[g(x)] =

$\sqrt{\sqrt{x} - 1} - 1$
$\sqrt[4]{x} - 2$
$\sqrt{\sqrt{x} - 1}$
$\sqrt[4]{x}$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Liit­funktsioon

Seotud sisu

Liitfunktsioon

Liitfunktsiooni mõiste

Märka

Näited

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Seotud sisu

Liitfunktsiooni moodustamine

Tingimus

Märka

Näide 4

A. Liitfunktsioon y = f[g(x)]

Vastus

B. Liitfunktsioon y = g[f(x)]

Näide 5

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Sisemine ja välimine

Liitfunktsiooni moodustamine

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Liitfunktsioon