Astme mõiste üldistamine. Reaalarvuline astendaja

Astendajaks ratsionaalarv
Astendajaks irratsionaalarv

Seotud sisu

Astendamine

Naturaalarvuline astendaja

$a^{n} = \underset{n tegurit}{\underset{︸}{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}}$

n ∈ ℕ, kusjuures a¹ = a.

Täisarvuline astendaja

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}, a \neq 0$

n ∈ ℤ ning a⁰ = 1.

Ratsionaalarvuline astendaja

Ratsionaalarvulise astendajaga aste avaldub aluse m-nda astme ja n-nda juure kaudu:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}},$ kui

a > 0, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2
või
a < 0, m ∈ ℤ, n = 2k + 1, k ∈ ℕ.

Märka põhivalemeid

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

$a^{m} : a^{n} = \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

${(a b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Seotud sisu

Astendajaks reaalarv

Astendajaks irratsionaalarv

Positiivse alusega aste a^p, kus p on irratsionaalarv, on piirväärtus

$\lim_{n \to \infty} a^{b_{n}} = a^{p}, a > 0,$

kus jada {b_n} on ratsionaalarvude jada, mis koondub irratsionaalarvuks p, st

$\lim_{n \to \infty} b_{n} = p .$

Märka

Saab näidata, et kõik valemid, mis kehtivad ratsionaalarvuliste astendajate korral, jäävad kehtima ka irratsionaalarvuliste astendajate jaoks.

Näiteks

$3^{- \sqrt{5}} = \frac{1}{3^{\sqrt{5}}} .$

Näide

Defineerime irratsionaalse astendajaga astme. Vaatleme näiteks, kuidas mõista astet $3^{\sqrt{5}} .$

1. Kirjutame irratsionaalarvulise astendaja $\sqrt{5}$ lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna.

$\sqrt{5} = 2,23606797 ...$

2. Moodustame mittekahaneva ratsionaalarvude jada, mille piirväärtuseks on $\sqrt{5} .$ Selleks võtame jada liikmeks b_n arvu, mis koosneb n esimesest kümnendnumbrist 5 kirjutises. Saame jada

b₁ = 2; b₂ = 2,2; b₃ = 2,23; b₄ = 2,236; b₅ = 2,2360; ... .

3. On lihtne näha, et jada liikme b_n ja irratsionaalarvu $\sqrt{5}$ erinevus läheneb nullile, kui n kasvab.

Jätkub järgmisel slaidil.

4. Et jada {b_n} liikmed on ratsionaalarvud, siis saame moodustada astmete jada $\{3^{b_{n}}\} .$ Selle jada liikmed on

3²; 3^2,2; 3^2,23; 3^2,236; … .

5. Astendajate jada on mittekahanev, järelikult on ka astmete jada mittekahanev. Lisaks on see jada ülalt tõkestatud näiteks arvuga 3³ = 27, sest $3 > \sqrt{5} .$

6. Vastavalt teoreemile ülalt tõkestatud mittekahaneva jada kohta eksisteerib jada $\{3^{b_{n}}\}$ piirväärtus, mis ongi irratsionaalse astendajaga aste $3^{\sqrt{5}} .$

$\lim_{n \to \infty} 3^{b_{n}} = 3^{\sqrt{5}}$

1
5
25
125
625
$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{25}$

5^–7 : 5⁶ ⋅ 125⁴ =
$5^{\sqrt{2} + 1} \cdot 5^{1 - \sqrt{2}} =$
$5^{2 + \sqrt{3}} \cdot 5^{1 - \sqrt{3}} =$
${(5^{\sqrt{2} - 1})}^{\sqrt{2} + 1} =$
${(5^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{8}} =$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

2⁵ : 2¹⁴ ⋅ 2³= $2 \overset{}{}$
5^–7 : 5⁵ ⋅ 125⁶ = $^{2}$
$7^{\sqrt{3} + 1} \cdot 7^{1 - \sqrt{3}} =$
${(3^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{8}} = 3 \overset{}{} =$
${(2^{1 - \sqrt{3}})}^{\sqrt{3} + 1} = 2 \overset{}{} =$
${(1^{\sqrt{5} + 1})}^{\sqrt{3}} =$
${[2^{\sqrt{7}} \cdot {(- 3)}^{\sqrt{7}}]}^{\sqrt{7}} = \overset{}{}$
${(4^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{1, 5})}^{4} = 2 \overset{}{}$

Kui 2^x = 16, siis x = .
Kui 5^x = 625, siis x = .
Kui 7^x = 343, siis x = .
Kui $6^{x} = \frac{1}{216},$ siis x = .
Kui $2^{x} = \frac{1}{512},$ siis x = .
Kui $9^{x} = \frac{1}{729},$ siis x = .

${(\frac{1}{5})}^{x} = 0,2$
x =
${(\frac{2}{3})}^{x} = 1,5$
x =
${(\frac{3}{4})}^{x} = 0,5625$
x =
${(\frac{4}{3})}^{x} = 0,5625$
x =

Kui 49^x = 7, siis x = .
Kui 625^x = 5, siis x = .
Kui 0,00001^x = 0,1, siis
x = .
Kui 25^x = 0,2, siis
x = .
Kui 16^x = 0,5, siis
x = .
Kui 100 000^x = 0,1, siis
x = .

Kui ${(\sqrt{7})}^{x} = 49,$ siis x = .
Kui ${(\sqrt{3})}^{x} = 81,$ siis x = .
Kui ${(\sqrt{16})}^{x} = 1,$ siis x = .
Kui ${(\sqrt{\frac{1}{4}})}^{x} = 16,$ siis x = .
Kui ${(\sqrt{0, 1})}^{x} = 1000,$ siis x = .

2⁸
2⁷
2⁶
2^0,5
2^–0,5
2^0,75
2^1,5
2^–8
2^–7

16² =		$\sqrt{8} =$
8 ⋅ 4² =		$\sqrt{\sqrt{4}} =$
$\frac{1}{32 \cdot 8} =$		$\sqrt{2 \sqrt{2}} =$

3⁴
3⁵
3⁶
3^–4
3^–6
3^–0,5
3^–0,25
3^–5,5
3^0,5
3^0,25
3^1,5
3^4,5

9^–2 =		(9^–1)^–3 =
3 ⋅ 3⁴ =		${[{(\frac{1}{3})}^{- 1}]}^{0, 25} =$
27^0,5 =		$\frac{1}{81} \cdot {(3^{- 3})}^{\frac{1}{2}} =$

5
5²
5³
5⁶
5^–2
5^–3
5^–4
5^–0,5
5^0,5
5^1,5
5^–1,5

25³ =		$\frac{1}{5} \cdot \sqrt{125} =$
$5 \cdot \frac{1}{625} =$		$\sqrt{625^{- 2}} =$
0,008^–1 =		$0,04 \cdot \sqrt{5} =$

2^–5 ⋅ 2⁶ ⋅ 0,5^–3 + 4 ⋅ 8⁰ ⋅ 2^–2 =
= + =
$\sqrt{180} : \sqrt{5} - {(\frac{1}{3} - 4^{- 1})}^{- 2} =$
= – ² =
$17^{14} \cdot 17^{5} : 17^{18} - {(\frac{1}{6})}^{- 2} : {(\frac{1}{3})}^{- 2} =$
= – =
$\sqrt{6} (\sqrt{24} - \sqrt{54}) + {(- \frac{1}{4})}^{- 2} \cdot 8^{- \frac{2}{3}} =$
= – + ⋅ =

$\frac{4^{6} \cdot 8^{3}}{64^{4}} = \frac{2 \overset{}{}}{2 \overset{}{}} =$

2) $\frac{9^{7} : 81^{5}}{27^{- 3}} = \frac{3 \overset{}{}}{3 \overset{}{}} =$

3) $\frac{216^{2} \cdot 1296}{36^{5}} = \frac{6 \overset{}{}}{6 \overset{}{}} =$

x
x^–1
x^–2
x^–3
x^–4
x²
x³
x⁴
xy
x^–2y^–2
1
0

1) ${(x^{1 + \sqrt{2}})}^{1 - \sqrt{2}} =$

2) $\frac{{(x^{1 + \sqrt{3}})}^{\sqrt{3}}}{x^{\sqrt{3} - 1}} =$

3) $\frac{x^{\sqrt{2}} \cdot x^{1 - \sqrt{2}}}{{(x^{\sqrt{3}})}^{\sqrt{3}}} =$

4) $\frac{y^{\sqrt{a}} \cdot x^{\sqrt{a} + 1}}{{(x y)}^{\sqrt{a}}} =$

5) $\frac{x^{1 - \sqrt{3}} \cdot x^{1 + \sqrt{3}}}{{(x^{\sqrt{3} - 1})}^{\sqrt{3} + 1}} =$

6) $\frac{x^{\sqrt{a}} \cdot y^{\sqrt{a}} \cdot y^{2}}{{(x y)}^{\sqrt{a} + 2}} =$

$\frac{7^{x} \cdot 3^{x + 2} \cdot 4^{x - 1}}{7^{x - 1} \cdot 3^{x} \cdot 2^{2 x}} =$
$\frac{12^{x} \cdot 18 \cdot 32^{- 2 x} \cdot 16^{2 x} \cdot 2^{4 x}}{9^{- 2 x} \cdot 9 \cdot 48^{x} \cdot 9^{2 x}} =$

Seotud sisu

Jäta meelde

$a^{0} = 1$
$0^{n} = 0$
$a^{n} = 0$
$a^{n} = 1$

kui $a \neq 0$
iga $n \in ℕ$ korral
kui $a = 0$
kui $a = 1$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Astme mõiste üldistamine. Reaalarvuline astendaja

Seotud sisu

Astendamine

Naturaalarvuline astendaja

Täisarvuline astendaja

Ratsionaalarvuline astendaja

Märka põhivalemeid

Seotud sisu

Astendajaks reaalarv

Astendajaks irratsionaal­arv

Märka

Näide

Jätkub järgmisel slaidil.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Astendajaks irratsionaalarv