Eksponentfunktsioon

Geomeetriline jada
Eksponentfunktsioon
Eksponentfunktsiooni graafik

Seotud sisu

Geomeetriline jada

Meeldetuletus

Kui jada esimene liige on a₁ ja tegur q, siis avaldub üldliige kujul

a_n = a₁ ⋅ qⁿ^–1, n ∈ ℕ.

Kui a₁ = 1, siis

a_n = qⁿ^–1

Kui q > 1, siis jada kasvab.
Kui 0 < q < 1, siis jada kahaneb või hääbub.

Märka

Kui avaldises a_n = qⁿ^–1oleks n reaalarv, siis peab alus q olema positiivne, sest negatiivsest alusest ei saa kõiki astmeid leida.

Näiteks

Kui astendaja on 0,5 või –0,75, siis negatiivsest alusest astet ei eksisteeri.

Üldistus

Kui avaldises a_n = qⁿ^–1on astendajaks reaalarv, siis

saame teha üldistuse

y = q^x, x ∈ ℝ.

Kas see on funktsioon?

Seotud sisu

Argument astendajas

Eksponentfunktsioon

Eksponentfunktsioon avaldub kujul

y = a^x,

x ∈ ℝ, a > 0, a ≠ 1.

Arvu a nimetatakse eksponentfunktsiooni aluseks.

Eksponentfunktsioon y = a^x on üks põhilistest elementaarfunktsioonidest.

Märka

Eksponentfunktsiooni alus a ≠ 1, sest sel juhul taandub eksponentfunktsioon lihtsalt konstantseks funktsiooniks

y = 1.

Eksponentfunktsiooni alus ei saa olla negatiivne, sest negatiivsest alusest ei ole võimalik kõiki astmeid leida.

Näide 1

On eksponentfunktsioon	Pole eksponentfunktsioon
y = 17^x	y = (–17)^x
y = –9 ⋅ 6^x+2	y = 9 ⋅ (6x)²
y = (0,001)^x	y = 0,001 ⋅ 1^x
y = –29^–x	y = (–29)^–^x

Seotud sisu

Eksponentfunktsiooni graafik

Graafiku uurimine

Muuda liuguri abil eksponentfunktsiooni aluse a väärtust.
Vaatle graafikut, kui a > 0.
Vaatle graafikut, kui 0 < a < 1.
Uuri joonist, kui a = 1, a = 0 ja a < 0.

Märka

Jooniselt paistab, nagu puudutaks graafik x-telge. Tegelikult graafik x-telge ei puuduta, vaid läheneb sellele.

X =

Y =

X⁺ =

X^– =

Funktsioon on kasvav, kui
Funktsioon on kahanev, kui
f(0) =

Näide 2

Joonisel on funktsiooni y = e^x graafik.
Arvuga e tutvusid juba jada piirväärtuse teema juures.

Märka

Iga eksponentfunktsiooni y = a^x saab teisendada kujule

y = e^bx.

Selleks tuleb teisendada astme alus Euleri arvu e astmeks

a = e^b.

Seotud sisu

Graafiku teisendused

Funktsioonide y = a^x ja y = a^–x graafikud

on sümmeetrilised y-telje suhtes.
on sümmeetrilised x-telje suhtes.
ei ole sümmeetrilised.

Mõlemad graafikud lõikavad ordinaattelge punktis

(; ).

Lõikepunkt abstsissteljega

Vabaliige c nihutab graafikut c ühiku võrra

üles, kui c > 0.
alla, kui c > 0.
üles, kui c < 0.
alla, kui c < 0.

Teisenduse käigus graafiku kuju
Graafik lõikab ordinaattelge punktis

(0; ).

Funktsioonil on üks nullkoht, kui

c > 0.
c < 0.
c ≤ 0.
c ≥ 0.

Muutumispiirkond
Y = ; ∞).

Kordaja b graafiku kuju.
Funktsiooni y = b ⋅ a^x graafik lõikab ordinaattelge punktis

(; ).

Muutumispiirkond
Kui b > 0, siis Y = .
Kui b < 0, siis Y = .

Funktsiooni y = 0,2⋅ 2^x graafik kasvab kui y = 2^x graafik.

Funktsiooni y = 2⋅ 2^x graafik kasvab kui y = 2^x graafik.

Kui a > 1

Kui 0 < a < 1

Märka

Kui b = –1, siis

y = –a^x.

Seda kuju ei tohi segamini ajada negatiivse alusega avaldisega

y = (–a)^x,

mis pole eksponentfunktsioon.

NB! Viimane võrdus võib olla geomeetrilise jada liige, kui x ∈ ℕ.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

X =

Y =

X↑ =

X↓ =

f(0) =

f(1) =

X =

Y =

X↑ =

X↓ =

f(0) =

f(1) =

y = 2^x
y = –2^x
y = 2^–x
y = –2^–x

Kolm graafikut

X = ℝ

y = 7^–x
y = 7^x
y=-7^x

Y = (0; ∞)

y = 7^–x
y = 7^x
y=-7^x

Y = (–∞; 0)

y = 7^–x
y = 7^x
y=-7^x

Kasvav funktsioon

y = 7^–x
y = 7^x
y=-7^x

Kahanev funktsioon

y = 7^–x
y = 7^x
y=-7^x

y = 7^–^x on y = 7^x peegeldus

y-teljest.
x-teljest.
koordinaatide alguspunktist.

y = 7^–^x on y = –7^x peegeldus

y-teljest.
x-teljest.
koordinaatide alguspunktist.

y = –7^x on y = 7^x peegeldus

y-teljest.
x-teljest.
koordinaatide alguspunktist.

	y = 7^x	y = 7^–x	y = –7^x
y = 1	x =	x =	x =
y = 7	x =	x =	x =

$= 0, 5^{- x}$
$= 0, 5^{x}$

f(–3) = ja g(1) =

$y = 2^{x}$
$y = 2^{- x}$
$y = 2^{x} - 4$
$y = 2^{x - 4}$
$y = - 2^{x}$
$y = 2^{x} - 3$

$y = 2^{x}$
$y = - 2^{x}$
$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$
$y = 2^{x} - 4$
$y = 2^{- x - 4}$
$y = - 2^{x - 4}$
$y = 4 - 2^{x}$
$y = 2^{x - 4}$
$y = 0, 5^{x} - 4$

	Oranž	Lilla	Roosa
Graafik joonisel
Peegeldus x-teljest
Peegeldus y-teljest

$y = {(\frac{1}{5})}^{x}$
$y = 5^{x - 1}$
$y = {(5^{- 1})}^{x + 1}$

f(0) = ja f(1) =.

g(0) = ja g(1) = .

Kui f(x) = 2,6, siis x ≈ .

Kui g(x) = 2,6, siis x ≈ .

1) $\{\begin{cases} y = 1 + 4^{x - 2} \\ y = \frac{2}{x - 1} \end{cases}$
2) $\{\begin{cases} y = 2^{x} \\ y = 3 x - 1 \end{cases}$
3) $\{\begin{cases} y = 5^{- 0, 5 x + 1} \\ y = x^{2} - 4 x + 5 \end{cases}$
4) $\{\begin{cases} y = 3^{- x} + 1 \\ y = - 4 x + 2 \end{cases}$

Süsteem nr 1

x =

–2
0
1
2
3
5
8
10

y =

–2
0
1
2
3
5
8
10

Süsteem nr 2

x =

–2
0
1
2
3
5
8
10

y =

–2
0
1
2
3
5
8
10

Süsteem nr 3

x =

–2
0
1
2
3
5
8
10

y =

–2
0
1
2
3
5
8
10

Süsteem nr 4

x =

–2
0
1
2
3
5
8
10

y =

–2
0
1
2
3
5
8
10

Sirge $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 4}{- 3 \frac{3}{4}}$
lõikub funktsiooni y = a^x graafikuga punktides abstsissidega 1 ja –1.
Astme alus a = .
Sirge $\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 4}{- 3 \frac{1}{2}}$
lõikub funktsiooni y = a^x graafikuga punktides ordinaatidega 4 ja 0,5.
Astme alus a = .

Seotud sisu

Jäta meelde

Eksponentfunktsioon y = a^x on kasvav, kui

$a > 0$
$a > 1$
$0 < a < 1$

Eksponentfunktsioon y = a^x on kahanev, kui

$a > 0$
$a > 1$
$0 < a < 1$

Eksponentfunktsiooni y = a^x graafik läbib punkti

$(0; 1)$
$(1; 0)$
$(1; a)$
$(a; 1)$
$(0; a)$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Eksponent­funktsioon

Seotud sisu

Geomeetriline jada

Meeldetuletus

Märka

Näiteks

Üldistus

Seotud sisu

Argument astendajas

Eksponentfunktsioon

Märka

Näide 1

Seotud sisu

Eksponentfunktsiooni graafik

Graafiku uurimine

Märka

Näide 2

Märka

Seotud sisu

Graafiku teisendused

Kui a > 1

Kui 0 < a < 1

Märka

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Kolm graafikut

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Eksponentfunktsioon