Liitprotsent. Kasvamine ja kahanemine

  • Kapitali kasvamine ja kahanemine
  • Radioaktiivse aine lagunemine
  • Organismide kasvamine
Seotud sisu
Muud tegevused

Kapitali kasvamine ja kahanemine

Liitprotsendiline kasvamine

Kui algkapital on a ja iga-aastane intressimäär p%, siis avaldub kapitali suurus n aasta pärast liitprotsendi valemina

an=a1+p100n,

mida nimetatakse ka liitprotsendilise kasvamise seaduseks.

Märka

Liitprotsendi korral on kapital eksponentsiaalselt kasvav suurus

an = a ⋅ bn,

kus astme aluseks on

b = 1 + 0,01⋅p > 1.

Liitprotsendiline kahanemine

Kui suurus a kahaneb teatud perioodi pärast ühe ja sama protsendi p% võrra, siis avaldub algne suurus n aasta pärast valemina

an=a1-p100n,

mida nimetatakse ka liitprotsendilise kahanemise seaduseks.

Kasvamisprotsess

Olgu pangas hoiusena algkapital a, mis teatud perioodi pärast suureneb intressi võrra, kusjuures intressimäär on p%.

  • Tavaliselt on intressi lisamise perioodiks üks aasta. Seega on aasta pärast kapitali suuruseks

a1=a+a·p100=a1+0,01p.

  • Järgmisel aastal suurendatakse juba kapitali a1 intressi võrra ja saadakse analoogselt

a2=a11+0,01p=a1+0,01p2.

  • Kui jätkame seda protsessi, saame n aasta pärast kapitali suuruseks

an=a1+0,01pn.

Kaks näidet

Hoiuarve suurenemine

Panka hoiuarvele pandi 3000 eurot. Viie aasta pärast oli see hoius kasvanud 3828,84 euroni. Leiame panga intressimäära.

Lahendus

Liitprotsendi valemi kohaselt

a5 = a(1+0,01p)5.

Siin a = 3000 ja a5 = 3828,84 ja seega

1+0,01p5=a5a=3828,843000=1,27608

1+0,01p=1,276085≈1,05

p=1,05-1·100%=5%

Vastus 

Panga intressimäär on 5% aastas.

Elanike arvu vähenemine

Linna elanike arv väheneb igal aastal 3% võrra. Leiame elanike arvu 10 aasta pärast, kui algselt oli linnas 20 000 elanikku.

Lahendus

Kasutame liitprotsendilise kahanemise seadust:

a10 = a(1 – 0,01p)10.

a10 = 20 000(1 – 0,03)10 =

= 20 000 ⋅ 0,7374 ≈ 14 748

Vastus

Kümne aasta pärast on linnas 14 748 elanikku.

Mõtle

  1. Kui suur on hoius nelja aasta pärast, kui intressimäär on 2%?
    Vastus. eurot.
  2. Kui suur on selle hoiuse intressimäär üheliste täpsusega, kui viie aasta pärast on hoius ligikaudu 1159 eurot?
    Vastus. Intressimäär on .
  3. Leia proovimise teel, mitu aastat on hoius pangas olnud, kui intress on 126 eurot ja intressimäär 2%.
    Vastus.  aastat.
  1. Kui suur on auto väärtus ühe euro täpsusega viie aasta pärast?
    Vastus.  eurot.
  2. Mitme aasta pärast on auto väärtus 791 eurot?
    Vastus.  aasta pärast.
  3. Mitme protsendi võrra kahaneb auto väärtus iga aastaga, kui hinnaga 40 000 ostetud auto maksab viie aasta pärast 9492 eurot?
    Vastus.  võrra.
Seotud sisu
Muud tegevused

Radioaktiivne lagunemine

Poolestusaeg

Poolestusaeg on radioaktiivse lagunemise kiirust iseloomustav aeg, mille jooksul pool olemasolevast ainest laguneb.

Radioaktiivse aine hulk kahaneb eksponentsiaalselt ja kehtib valem

mt=m012tT.

m0 on aine algmass, m(t) aine mass momendil t ja T on poolestusaeg.

Märka

Pärast poolestusaja möödumist on esialgsest ainest järel vaid pool.

Pärast kahekordse poolestusaja möödumist on järel poolest pool ehk üks neljandik jne.

Näide 

Erinevate ainete poolestusajad on väga erinevad.

  • Uraan-238 poolestusaeg on 4,5 miljardit aastat.
  • Poloonium-84 poolestusaeg on vaid 1,5 ⋅ 10–4 sekundit.

Pärast organismi surma hakkavad sinna sattunud süsinik-14 aatomid lagunema. Mõõtes radiosüsiniku hulka surnud organismis, saab hinnata selle surmast möödunud aega.

Mitu protsenti 14C kogusest on alles 1000 aastat pärast organismi elutegevuse lakkamist?

Vastus

Umbes %.

Väike abi
Kasuta radioaktiivse aine lagunemise valemit. Astendajaks on aja ja poolestusaja jagatis.

Radiosüsinikumeetod

Arheoloogid ja paleontoloogid määravad radioaktiivse süsiniku koguse järgi orgaanilist päritolu leidude vanust. Niisugust meetodit nimetatakse radiosüsinikumeetodiks. Meetodi töötasid 1949. aastal välja Williard Libby ja tema kolleegid ning 1960. aastal sai Libby selle arendamise eest keemia Nobeli preemia.

Seotud sisu
Muud tegevused

Organismide kasvamine

Organismi suurus

Tähistame täisealise taime või looma suuruse S ja s0 selle suuruse algmomendil t = 0.

Siis organismi suuruse s(t) ajamomendil t võib avaldada järgmise mudeli ehk valemi kaudu:

s(t) = s0 + (S – s0)(1 – e–kt).

Konstant k > 0 määrab kasvukiiruse.

Märka

Paljude taimede ja loomade kasvamine toimub eksponentsiaalselt kahanevalt. Noor organism kasvab kiiresti, kuid mida lähemale täiseale, seda aeglasemaks muutub kasv.

Protsessi kirjeldus

Kui organismi suuruse valemis t = 0, siis e–kt = 1 ja 

s(0) = s0 + 0

ning protsessi algtingimus on täidetud.

Näib, et selle mudeli korral kestab kasvuprotsess lõpmatuseni. Kuid eksponentfunktsioon e–kt kahaneb väga kiiresti ja teatud ajamomendil T on selle funktsiooni väärtus tühiselt väike. Selle võib asendada ligikaudselt nulliga ja saame

s(T) ≈ S.

Seega, aeg T on kasvu lõpu ja täisealiseks saamise aeg.

Kui palju kaalub see imetaja kaheaastasena ühe kilogrammi täpsusega, kui kasvukiiruse konstant on k = 1,1. 

Vastus

See loom kaalub siis kilogrammi.

Seotud sisu
Muud tegevused

Harjuta ja treeni

Fond

  1. Nelja kuu pärast on hoiuse suurus  eurot.
  2. Ühe aasta pärast on hoiuse suurus  eurot.
  3. Nelja aasta pärast on hoiuse suurus  eurot.
  1. Tuhandeeurone hoius kasvab fondis nelja kuuga 1262,5 euroni. Selles fondis on ühe kuu intressimäär %.
  2. Hoius 2000 eurot kasvab fondis  aastaga 3022,1 euroni. Selles fondis on ühe kuu intressimäär %.
  1. Mitu inimest elab selles linnas kuue aasta pärast?
  2. Mitme inimese võrra kasvab linna elanikkond 10 aastaga?

Vastus

  1. Linnas elab siis  inimest.
  2. Elanikkond kasvabinimese võrra.
Märkus
Elanike arv ümarda alati ülespoole.
  • Moodusta funktsioon, mis kirjeldab bakterite massi kogust x ööpäeva pärast.

y = ⋅x

  • Kahe ööpäeva pärast on bakterite mass μg.
  • Kaks ja pool ööpäeva tagasi oli bakterite mass μg.
  • Kuue tunni pärast on bakterite mass  μg.

Märka

Ühe kuu intressimäära saame, kui jagame aastase intressimäära 12-ga.

Päeva intressi saame, kui jagame kuu intressimäära 30-ga.

  1. Ühe aastaga sai hoiustaja 20 eurot intressi. 
    Esialgne hoiuarve oli  eurot.
  2. Kahe aastaga sai hoiustaja 20 eurot intressi.
    Esialgne hoiusumma oli eurot.
  3. Kolme kuuga sai hoiustaja 20 eurot intressi. 
  • Kolme kuu hoiuprotsent on .
  • Esialgne hoiuarve oli .
  • Jüri paigutab 4000 eurot pikaajalise hoiusena panka intressimääraga 1,2% aastas. Mari ostab aga sama summa eest võlakirju aastase tootlusega 3,2%.
  • Kolme aasta pärast peab Jüri kasulikumaks paigutada kogutud raha võlakirjadesse sama tootlusega mis Maril. Mari aga ei riski enam võlakirjadega ja paigutab raha panka intressimääraga 1,2% aastas.
  • Kumma summa on järgmise kolme aasta pärast suurem? Kõik summad kirjuta ühe euro täpsusega.

Algne summa

Intressimäär

Summa 3 aasta pärast

Uus intressimäär

Lõppsumma

Jüri

4000

Mari

  1. Kui palju erineb siis tulemus võrreldes sellega, kui intressi arvutatakse üks kord aastas?
  2. Kui palju erinevad tulemused kord aastas lisatud intresside ja kord kuus lisatud intresside korral?

Vastus

  1. Lõppsumma erinevus on  eurot.
  2. Lõppsumma erinevus on  eurot.
  1. Mitu hektarit oleks 10 aasta pärast veeala suurus, kui igal aastal väheneks veeala 2% võrra?
  2. Mitu protsenti moodustaks sel juhul veeala kogu hoiualast?
Väike väin

Vastus

  1. Veeala suurus oleks 10 aasta pärast 10 ha täpsusega  ha.
  2. Kogu hoiualast moodustaks veeala 10 aasta pärast %.
  1. Viie aasta pärast on selle eseme väärtus eurot.
  2. Kuue ja poole aasta pärast on selle eseme väärtus  eurot.
  3. Aasta tagasi oli selle eseme väärtus eurot.
Seotud sisu
Muud tegevused

Jäta meelde

an=a1-p100n 

an=a1+p100n

Seotud sisu
Muud tegevused