Põhivõrrandite sin x = a ja cos x = a lahendivalemid

Arkusfunktsioonid
Põhivõrrandi sin x = a lahendivalem
Põhivõrrandi cos x = b lahendivalem

Seotud sisu

Arkusfunktsioonid

Arkussiinus

Arkussiinuse arcsin a väärtuseks on absoluutväärtuselt vähim nurk φ, mille siinus on a.

Arkuskoosinus

Arkuskoosinuse arccos b väärtuseks on vähim mittenegatiivne nurk φ, mille koosinus on b.

arcsin(–x) =

arccos(–x) =

Taskuarvuti kasutamine

Kalkulaatoril saab arkussiinust ja arkuskoosinust leida sama klahviga, millega leitakse siinust ja koosinust.

Selleks tuleb enne üle minna pöördoperatsiooni või teise taseme režiimile, vajutades sõltuvalt kalkulaatori tüübist klahvile 2nd, Shift või muule vastavale klahvile. Seejuures tuleb jälgida, kas nurk saadakse kraadides või radiaanides.

arcsin 0,5 = °
arccos 0,5 = °
arcsin (–0,5) = °
arccos (–0,5) = °

arcsin 0,8 ≈ °
arccos 0,8 ≈ °
arcsin (–0,65) ≈ °
arccos (–0,65) ≈ °

Seotud sisu

Põhivõrrandi sin x = a lahendivalem

x = (–1)ⁿ arcsin a + nπ, n ∈ ℤ

Kui n on paarisarv, siis (–1)ⁿ = 1.

Kui n on paaritu arv, siis (–1)ⁿ = –1.

Märka

Võrrandi sin x = 1 lahendivalem on

x = 0,5π + 2nπ, n ∈ ℤ.

Võrrandi sin x = –1 lahendivalem on

x = –0,5π + 2nπ, n ∈ ℤ.

Lahendivalemi tuletus

Valemi tuletus

Lahendame võrrandi sin x = a.

Joonestame funktsiooni y = sin x graafiku ja sirge y = a vahemikus (–π; 2π). Konkreetsuse mõttes eeldame, et a > 0.

Leiame lahendid vahemikus (–π; 2π).
- üheks lahendiks on arcsin a = φ,
- teiseks lahendiks on (π – φ).
- lahendid asetsevad esimese lahendiga φ sümmeetriliselt sirge x = 0,5π suhtes.
Leiame lahendihulgad.
- ülejäänud lahendid erinevad neist kahest täisarv korda perioodi 2π võrra. Järelikult saame kaks lahendihulka (k ∈ ℤ).

x_k_{, 1} = φ + k ⋅ 2π

x_{k, 2} = π – φ + k ⋅ 2π = –φ + (2k + 1)π

Koostame lahendivalemi.
- esimeses lahendihulgas on π korrutatud paarisarvuga 2k ja nurk φ on plussmärgiga.
- teises hulgas on π kordaja paaritu arv (2k + 1) ning nurk φ on miinusmärgiga. See võimaldab need hulgad kokku võtta kujul

x_n = (–1)ⁿ ⋅ φ + nπ = (–1)ⁿ ⋅ arcsin a + nπ, n ∈ ℤ.

Näide 1

Lahendame võrrandi sin x = –0,5.

Lahendus ja vastus

Lahendivalemi põhjal saab kõik lahendid esitada ühe avaldisega.

$x = {(- 1)}^{n} \cdot \arcsin (-0,5) + n π$
=
${(- 1)}^{n} \cdot (- \frac{π}{6}) + n π$
=
${(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{π}{6} + n π$
=
(–1)ⁿ⁺¹ ⋅ 30° + n ⋅ 180°, n ∈ ℤ

Kontroll

Siinusfunktsiooni korral piisab kahe järjestikuse erilahendi kontrollimisest.

Kui n = 0, siis x₁ = –30° ja sin(–30°) = –0,5.
Kui n = 1, siis x₂ = 30° + 180° = 210° ja sin 210° = –0,5.

$- \frac{π}{3}$
$- \frac{π}{4}$
$- \frac{π}{6}$
$\frac{π}{6}$
$\frac{π}{4}$
$\frac{π}{3}$
$\frac{2 π}{3}$
$\frac{3 π}{4}$
$\frac{5 π}{4}$
$\frac{4 π}{3}$

Võrrand	n = 0	n = 1
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Seotud sisu

Põhivõrrandi cos x = a lahendivalem

x = ±arccos a + 2nπ, n ∈ ℤ

Märka

Võrrandi cos x = 1 lahendivalem on

x = 2nπ, n ∈ ℤ.

Võrrandi cos x = –1 lahendivalem on

x = (2n + 1)π, n ∈ ℤ.

Lahendivalemi tuletus

Valemi tuletus

Valem

Lahendame võrrandi cos x = a.

Joonestame funktsiooni y = cos x graafiku ja sirge y = a vahemikus (–1,5π; 1,5π). Konkreetsuse mõttes eeldame, et a < 0.

Leiame lahendid vahemikus (–1,5π; 1,5π).
- üheks lahendiks on arccos a = φ.
- teiseks lahendiks on –φ.
- et koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon, siis asetsevad lahendid sümmeetriliselt y-telje suhtes.
Leiame lahendihulgad.
- ülejäänud lahendid erinevad neis kahest täisarv korda perioodi 2π võrra. Järelikult saame kaks lahendihulka.

x_{k, 1} = φ + k ⋅ 2π

x_{k, 1} = –φ + k ⋅ 2π

Lahendivalem. Need hulgad saab kokku võtta kujul

x = ±φ + n ⋅ 2π
=
±arccos a + 2nπ, n ∈ ℤ.

Näide 2

Lahendame võrrandi cos x = –0,5.

Lahendus ja vastus

Lahendivalemi põhjal saab kõik lahendid esitada ühe avaldisega.

x = ±arccos(–0,5) + 2nπ
=
±(π – arccos 0,5) + 2nπ
=
$\pm \frac{2 π}{3} + 2 n π$
=
±120° + n ⋅ 360°, n ∈ ℤ

Kontroll

Koosinusfunktsiooni korral võib piirduda ühe erilahendi kontrollimisega.

Kui n = 0, siis x₁ = 120° ja x₂ = –120°,

cos 120° = cos(–120°) = –0,5.

$- \frac{5 π}{6}$
$- \frac{3 π}{4}$
$- \frac{π}{3}$
$- \frac{π}{4}$
$- \frac{π}{6}$
$\frac{π}{6}$
$\frac{π}{4}$
$\frac{π}{3}$
$\frac{2 π}{3}$
$\frac{3 π}{4}$
$\frac{5 π}{6}$
$\frac{4 π}{3}$

Võrrand	Väiksem	Suurem
$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Põhivõrrand siinusega

sin 2x = 0,5

$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{6} + n π$
$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{3} + n π$
$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{3} + 2 n π$
$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{12} + \frac{n π}{2}$

$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{2 π}{3} + n π$
$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{3} + n π$
$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{2 π}{3} + 2 n π$
$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{3} + 2 n π$

$\sin (\frac{π}{6} + x) = - 1$

$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{2} - \frac{π}{6} + n π$
$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{6} - n π$
$x = {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{6} - n π$
$x = {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{π}{2} - \frac{π}{6} + n π$

$\sin (\frac{π}{3} - x) = 1$

$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{2} - \frac{π}{3} + n π$
$x = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{3} - n π$
$x = {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{3} - n π$
$x = {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{π}{2} - \frac{π}{3} + n π$

Põhivõrrand koosinusega

cos 2x = 0,5

$x = \pm \frac{π}{6} + 2 n π$
$x = \pm \frac{π}{6} + n π$
$x = \pm \frac{π}{3} + n π$
$x = \pm \frac{2 π}{3} + 4 n π$

$\cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \frac{π}{3} + 4 n π$
$x = \pm \frac{π}{6} + 2 n π$
$x = \pm \frac{π}{3} + 2 n π$
$x = \pm \frac{2 π}{3} + 4 n π$

$\cos (\frac{π}{3} + x) = 1$

$x = \pm \frac{π}{2} + 2 n π - \frac{π}{3}$
$x = \pm \frac{π}{2} + n π - \frac{π}{3}$
$x = 2 n π + \frac{π}{3}$
$x = 2 n π - \frac{π}{3}$

$\cos (\frac{π}{6} - x) = - 1$

$x = \pm \frac{π}{2} + 2 n π - \frac{π}{6}$
$x = \pm \frac{π}{2} + n π - \frac{π}{6}$
$x = \frac{5 π}{6} + 2 n π$
$x = \frac{7 π}{6} + 2 n π$

Seotud sisu

Jäta meelde

±
(–1)ⁿ
2nπ
nπ
arcsin b
arccos b
n ∈ ℤ
n ∈ ℝ

Võrrandi sin x = b lahendivalem on

x = + ,

Võrrandi cos x = b lahendivalem on

x = + ,

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Põhi­võrrandite sin x = a ja cos x = a lahendi­valemid

Seotud sisu

Arkusfunktsioonid

Arkussiinus

Arkuskoosinus

Taskuarvuti kasutamine

Seotud sisu

Põhivõrrandi sin x = a lahendivalem

Põhivõrrandi sin x = a lahendivalem

Märka

Lahendivalemi tuletus

Valemi tuletus

Näide 1

Lahendus ja vastus

Kontroll

Seotud sisu

Põhivõrrandi cos x = a lahendivalem

Põhivõrrandi cos x = a lahendivalem

Märka

Lahendivalemi tuletus

Valemi tuletus

Valem

Näide 2

Lahendus ja vastus

Kontroll

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Põhivõrrand siinusega

Põhivõrrand koosinusega

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Põhivõrrandite sin x = a ja cos x = a lahendivalemid

Põhivõrrandi sin x = a lahendivalem

Põhivõrrandi sin x = a lahendivalem

Põhivõrrandi cos x = a lahendivalem

Põhivõrrandi cos x = a lahendivalem