Põhivõrrandi tan x = a lahendamine

Graafiline lahendamine
Põhivõrrandi lahendivalem
Võrratuse graafiline lahendamine

Seotud sisu

Graafiline lahendamine

Joonisel 1 on tangensfunktsiooni graafik. Lohista õigele kohale sirge y = –1.
Võrrandi lahenditeks on tangensoidi ja sirge lõikepunktide abstsissid. Järelikult on sellel lõigul lahendit.
Kui funktsiooni y = tan x väärtus on –1, siis absoluutväärtuselt vähim lahend on

$x_{1} = ° = - π .$

Leiame suurima lahendi antud lõigul.

x₂ = x₁ + 180°= ° = $\frac{π}{}$

Leiame vähima lahendi antud lõigul.

x₃ = x₁ – 180° = ° = $- \frac{π}{}$

Joonis 1

Pärast muutuja vahetust 0,25x + 0,25 = z saad võrrandi

tan z = 1,
mille lahendamiseks kasuta joonist 1.

Kui z₁ = π, siis x₁ saad võrrandist

0,25x₁ + 0,25 = 0,25π.

Seega x₁ = π – .

Suurim lahend sellel lõigul on z₂ = π, millest

x₂ = π – 1.

Vähim lahend sellel lõigul on z₃ = π, millest

x₃ = π – 1.

Seotud sisu

Põhivõrrandi lahendivalem

Valemi tuletus

Lahendame võrrandi tan x = a. Selleks joonestame funktsioonide y = tan x ja y = a graafikud vahemikus (–1,5π; 1,5π).

Vaatle joonist 2. Graafikud lõikuvad vahemikus kohal φ = arctan a. See on võrrandi üks erilahend. Kõik ülejäänud lahendid erinevad sellest täisarv korda perioodi π võrra. Järelikult on võrrandi lahendid

x = φ + nπ = arctan a + nπ
=
arctan a + n ⋅ 180°, n ∈ ℤ.

Joonis 2

Joonisel on eeldatud, et a > 0, kuid lahenduskäik ei sõltu a märgist.

Lahendivalem

Põhivõrrandi tan x = a lahendivalem on

x = arctan a + nπ, n ∈ ℤ

Näide 2

Lahendame võrrandi $\sqrt{3} \tan x + 1 = 0$ ja leiame erilahendid lõigul [–200°; 400°].

Võrrandi lahendamine

Teisendame võrrandi põhivõrrandiks.

$\tan x = - \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Vastavalt lahendivalemile saame kõik lahendid

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + n π$
=
$- \frac{π}{6} + n π$
=
$- 30 ° + n \cdot 180 ° .$

Kui n = –1, siis x₁ = °, vaadeldaval lõigul.
Kui n = 0, siis x₂ = °, vaadeldaval lõigul.
Kui n = 1, siis x₃ = °, vaadeldaval lõigul.
Kui n = 2, siis x₄ = °, vaadeldaval lõigul.
Kui n = 3, siis x₅ = °, vaadeldaval lõigul.

Vastus

Võrrandi lahendid on $x = - \frac{π}{6} + n π = - 30 ° + n \cdot 180 °,$ n ∈ ℤ.
Erilahendid antud lõigul on –30°, 150° ja 330°.

–π
$- \frac{5 π}{6}$
$- \frac{7 π}{12}$
$- \frac{π}{3}$
$- \frac{π}{4}$
$- \frac{π}{6}$
0
$\frac{π}{6}$
$\frac{π}{4}$
$\frac{π}{3}$
$\frac{5 π}{12}$
π

Võrrand	x₁	x₂
$\tan (x + \frac{π}{4}) = 1$
$\tan (x + π) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan (\frac{π}{3} + x) = - 1$
$\tan (π - 2 x) = \sqrt{3}$

Seotud sisu

Võrratuse graafiline lahendamine

Võrratuse $\tan x < \sqrt{3}$ lahenduskäik

Lahendihulgaks on piirkond, kus tangensoid asub sirget.
Sirge ja tangensoid lõikuvad kohtadel $- \frac{π}{}$ ja $\frac{π}{} .$
Funktsioon y = tan x katkeb kohtadel –0,5π ja π.

Vastus

Võrratuse lahendihulk antud lõigul on

$[- π; - \frac{2 π}{3}) \cup (- \frac{π}{2}; \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{2}; π] .$

Joonis võrratuse lahendamiseks

Lahendihulgale $[- π; π]$ vastab võrratus

$\tan 4 x < 1$
$\tan \frac{x}{4} \leq 1$
$\tan \frac{x}{4} < 1$
$\tan \frac{x}{4} \geq 1$
$\tan 4 x > 1$
$\tan 4 x \leq 1$

Lahendihulgale $[- π; - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{6}; \frac{π}{2}) \cup (\frac{5 π}{6}; π]$ vastab võrratus

$\tan x < - \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan x > - \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan x > \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan x < \frac{\sqrt{3}}{3}$

Lahendihulgale $(- \frac{π}{2}; - \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{2}; \frac{5 π}{6})$ vastab võrratus

$\tan x < - \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan x > - \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan x > \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan x < \frac{\sqrt{3}}{3}$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Joonise põhjal saab lahendada võrrandi

$\tan \frac{x}{2} = \sqrt{3}$
$\tan x = \sqrt{3}$
$\tan 2 x = \sqrt{3}$
$\tan 3 x = \sqrt{3}$

Vastus

Võrrandi üldlahend on

x = ° + , n ∈ ℤ.

Erilahendid kasvavas järjekorras

x₁ = °, x₂ = °, x₃ = °, x₄ = °.

Funktsioon y = tan x

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$
–1
$- \sqrt{3}$
0
1
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{3}$
$- \frac{5 π}{6}$
$- \frac{3 π}{4}$
$- \frac{2 π}{3}$
$- \frac{π}{6}$
$- \frac{π}{4}$
$- \frac{π}{3}$

x-koordinaat	y-koordinaat
$- \frac{π}{6}$
	–1
	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$- \frac{3 π}{4}$
$- \frac{2 π}{3}$
	$- \sqrt{3}$

ℝ
∅
$(- \frac{π}{4}; - \frac{π}{6})$
$[- \frac{π}{4}; - \frac{π}{6}]$
$[- 1; - \frac{\sqrt{3}}{3}]$
$(- 1; - \frac{\sqrt{3}}{3})$
(–1; 0)
[–1; 0]

Y =

X₀ =

X⁺ =

X^– =

X↑ =

X↓ =

Leia võrrandi tan x = 1 erilahendid x₁ < x₂ antud lõigul.

x₁ = π ja x₂ = π

Lahenda võrratus tan x < 1 antud lõigul.

Lahendihulk x ∈

π; π ∪ π; π

x₁ =
x₂ =
x₃ =

Kogu määramispiirkonnas on sellel võrrandil lahendeid
Leia hulgast L võrrandi tan x = x ligikaudsed lahendid. Kliki hiirega ainult õige lahendi täisosal.

L =

Funktsioon y = tan x ja sirge

Seotud sisu

Jäta meelde

Arkustangens b on nurk, mille tangens on b.

Põhivõrrandi tan x = b üldlahend

x = + π,

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Põhivõrrandi tan x = a lahendamine

Seotud sisu

Graafiline lahendamine

Joonis 1

Seotud sisu

Põhivõrrandi lahendivalem

Valemi tuletus

Joonis 2

Lahendivalem

Näide 2

Võrrandi lahendamine

Vastus

Seotud sisu

Võrratuse graafiline lahendamine

Vastus

Joonis võrratuse lahendamiseks

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Funktsioon y = tan x

Funktsioon y = tan x ja sirge

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Põhivõrrandi tan x = a lahendamine

Funktsioon y = tan x

Funktsioon y = tan x ja sirge