Trigonomeetrilised võrrandid

Trigonomeetrilised valemid
Võrrandi tegurdamine
Ruutvõrrandiks teisendamine
Homogeenne võrrand

Seotud sisu

Trigonomeetrilised valemid

Kahe nurga summa ja vahe

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Põhiseosed

sin²α + cos²α = 1

$tan α = \frac{sin α}{cos α}$

tan α ⋅ cot α = 1

$1 + {tan}^{2} α = \frac{1}{{cos}^{2} α}$

Kahekordse nurga valemid

sin 2α = 2sin α cos α

cos 2α = cos²α – sin²α

$\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}$

Seotud sisu

Võrrandi tegurdamine

Näide 1

Leiame võrrandi sin x + sin 2x = 0 lahendid lõigul [–90°; 360°].

Lahendus

Kasutame kahekordse argumendi siinuse valemit.

sin x + 2sin x cos x = 0

Toome sin x sulgude ette.

sin x (1 + 2cos x) = 0

Kui korrutis on 0, peab üks teguritest olema null. Seega tuleb lahendada kaks võrrandit:
1. sin x = 0
2. 1 + 2cos x = 0

Nende võrrandite graafiline lahendus on joonistel 1 ja 2.

sin x = 0

x = (–1)ⁿ arcsin + n ⋅ °, n ∈ ℤ

x = n ⋅ °, n ∈ ℤ

Lahendid antud piirkonnas saame, kui
n = 0, n = ja n = .

cos x = –0,5

x = ±arccos + n ⋅ °, n ∈ ℤ

x = ±° + n ⋅ °, n ∈ ℤ

Kui arvutame erinevatele n väärtustele vastavad erilahendid, siis saame valida nende seast otsitavad erilahendid.

Võrrandil sin x = 0 on antud piirkonnas lahendit.
Võrrandil cos x = –0,5 on antud piirkonnas lahendit.

Võrrandi lahendid kasvavalt:

°, °, °, °, °.

Joonis1

Võrrandi sin x = 0 graafiline lahendus

Joonis 2

Võrrandi cos x = 0,5 graafiline lahendus

Kasuta seost sin²x + cos²x = 1, et teisendada võrrand kujule

sin²x + sin x = 0.

Tegurda võrrandi vasak pool ja saad kaks võrrandit.
1. sin x = 0
2. sin x =

Vastus

Võrrandi lahendid on

x = nπ, n ∈ ℤ,
$x = {(- 1)}^{n} \frac{π}{} + n π, n \in ℤ.$

Seotud sisu

Ruutvõrrandiks teisendamine

Märka

Kui võrrand sisaldab vaid ühte sama argumendiga trigonomeetrilist funktsiooni mingites astmetes, siis pärast funktsiooni asendamist uue muutujaga tekib algebraline võrrand, näiteks ruutvõrrand.

Näide 2

Lahendame võrrandi 2cos²x – 3sin x = 0.

Lahendus

Kasutades seost cos²x = 1 – sin²x, saame

2 – 2sin²x –3sin x = 0.

See on ruutvõrrand sin x = t suhtes:

2t² + 3t – 2 = 0,
millest
t₁ = –2 ja t₂ = 0,5.

Saame põhivõrrandid:
1. sin x = –2, millel lahendid puuduvad, sest siinus ei saa olla väiksem miinus ühest.
2. sin x = 0,5, millel on lahendid.

Vastus

Võrrandi lahendid on $x = {(- 1)}^{n} \frac{π}{6} + n π, n \in ℤ .$

Pärast funktsiooni asendamist muutujaga sin x = a saame ruutvõrrandi

a² – a + = 0,
millest
a₁ = ja a₂ = .

Vastus

Põhivõrrandi sin x = a₁ lahendid on $x = {(- 1)}^{n} \frac{π}{} + n π, n \in ℤ .$
Põhivõrrandi sin x = a₂ lahendid on $x = {(- 1)}^{n} \frac{π}{} + n π, n \in ℤ .$

Seotud sisu

Homogeensed võrrandid

Võrrand on homogeenne

siinuse ja koosinuse suhtes, kui võrrandi kõigis nullist erinevates liikmetes on siinuse ja koosinuse astendajate summa üks ja seesama.

Esimest järku homogeenne võrrand:

a sin x + c cos x = 0

Teist järku homogeenne võrrand:

a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0

a, b ja c on mingid arvkordajad, a ≠ 0 ja c ≠ 0.

Märka

Homogeense võrrandi mõlemad pooled jagatakse koosinuse suurima astmega, et saada algebraline võrrand tangensi suhtes.

$\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$

Seejuures võrdus

cos x = 0

on välistatud, sest sama nurga siinus ja koosinus ei saa olla korraga nullid.

Näited

Näide 3

Lahendame esimest järku homogeense võrrandi

10sin x + 77cos x = 0.

Lahendus

Jagame võrrandi mõlemad pooled cos x-ga.

10tan x + 77 = 0

tan x = –7,7

Leiame x lahendivalemi järgi.

Vastus

Võrrandi lahendid on x = –arctan 7,7 + nπ, n ∈ ℤ.

Näide 4

Lahendame teist järku homogeense võrrandi

sin²x – sin x cos x – 2cos²x = 0.

Lahendus

Jagame võrrandi pooled koosinuse ruuduga.

tan²x – tan x – 2 = 0

Saadud ruutvõrrandi lahendid on

tan x = –1 ja tan x = 2.

Vastus

Võrrandi lahendid on $x = - \frac{π}{4} + n π$ ja x = arctan 2 + nπ, n ∈ ℤ.

tan x = –2
tan x = –1
tan x = 0
tan x = 1
tan x = 1,5
tan x = 2
$\tan x = \sqrt{3}$
$\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

	Põhivõrrand
sin x + 2cos x = 0
cos x – sin x = 0
sin(π – x) = cos(x + π)
2sin x – 3cos x = 0
$\sqrt{3} \cos x - 3 \sin x = 0$
2sin x cos x+2cos²x=0

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Kasuta kahekordse argumendi siinuse valemit, vii kõik liikmed ühele poole võrdusmärki ning tegurda rühmitamisvõttega.

(1 + sin x)( – cos x) = 0

Esimesest sulust saad võrrandi
sin x =
Teisest sulust saad võrrandi
cos x = , millel

Vastus

Võrrandi lahendid on $x = {(- 1)}^{n + 1} \frac{π}{} + n π, n \in ℤ .$

Teisendused võrrandiga:

$\frac{u}{\cos u} + 3 \sin u = 0$
$\frac{u (+ \cos u)}{\cos u} = 0$

Vastuseks on lugeja nullkohad:

sin u = , siis
u = π, n ∈ ℤ
$\cos u = - \frac{1}{}$ , siis
u ≈ ±+2nπ, n ∈ ℤ

Pane tähele, et nimetaja cos u ≠ 0. See tingimus on täidetud.

Pikk lahenduskäik

Võrrandi cos 2x = cos x + sin x lahendus on kolmel slaidil.

Teisendamine

Kasuta kahekordse argumendi koosinuse valemit ja ruutude vahe valemit.

cos 2x = cos²x – sin²x
=
(cos x +)( –)

Vii kõik liikmed ühele poole võrdusmärki ja tegurda.

(cos x + sin x)( – sin x – ) = 0

Võrdsusta esimene sulg nulliga ja jaga võrrandi liikmed koosinusega cos x ≠ 0. Saad võrrandi

tan x = .

Esimene lahend

$x = - \frac{π}{} + n π, n \in ℤ .$

Korruta võrrandi liikmed teguriga $\frac{\sqrt{2}}{2},$ sest $\sin \frac{π}{4} = \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$
Uuel kujul võrrandis vahetame kaks tegurit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ koosinusega ja siinusega.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \frac{π}{4} \cos x - \sin \frac{π}{4} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Rakendame kahe nurga summa koosinuse valemit.

$\cos (\frac{π}{}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Teine lahend

$x = \pm \frac{π}{} - \frac{π}{} + π, n \in ℤ$

Kui valid esimese liidetava plussmärgiga, saad lahendi

x = π.

Kui valid esimese liidetava miinusmärgiga, saad lahendi

$x = - \frac{π}{} + π, n \in ℤ .$

Joonestame y = cos x ja y = –sin x graafikud.

Esimene võrrand teiseneb kujule

cos x = –sin x

ja selle lahenditeks on graafikute lõikepunktid x₁ ja x₂ ning lõikepunktid korduvad perioodiliselt.

Teise võrrandi korral näeme jooniselt, et cos x ja –sin x summa on võrdne ühega vaid kohtadel

x₃ = π ja x₄ = .

Ülejäänud lahendid erinevad neist täisarv korda perioodi 2π võrra.

Vastus

Võrrandi lahendid on

$x = - \frac{π}{} + n π, n \in ℤ .$
x = π, n ∈ ℤ.
x = π + 2nπ, n ∈ ℤ.

Asenda funktsioon sin x muutujaga a. Saad ruutvõrrandi

a² – a = 0,

mille lahendid on

a₁ = ja a₂ = 0.

Vastus

Põhivõrrandi sin x = a₁ lahendid $x = {(- 1)}^{n + 1} \frac{π}{} + n π, n \in ℤ .$
Põhivõrrandi sin x = a₂ lahendid
x = π, n ∈ℤ.
Võrrandi vähim positiivne lahend on °.

Asenda kootangens tangensi pöördväärtusega ning asenda funktsioon tan 2x uue muutujaga t.

$- \frac{}{} = 2$

Vii võrrandi liikmed ühisele nimetajale. Lahendada tuleb lugejas olev ruutvõrrand (t ≠ 0).

t² t = 0.

t₁ = – ja t₂ =

Vastus

Kui tan 2x = t₁, siis
x = ° + n ⋅°, n ∈ ℤ.
Kui tan 2x = t₂, siis
x = arctan + n ⋅ °, n ∈ ℤ.

Asenda arv –3 summaga –3sin² x – 3cos² x ja koonda.

sin² x sin x cos x cos² x = 0

Jaga võrrandi pooled koosinuse ruuduga, et saada ruutvõrrand, kus tan x = t.

t² t = 0

Lahendada tuleb kaks põhivõrrandit:
1. tan x =
2. tan x =

Vastus

Võrrandi lahendid on

x = π + nπ,
x = arctan + nπ, n ∈ ℤ.

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Trigono­meetrilised võrrandid

Seotud sisu

Trigonomeetrilised valemid

Kahe nurga summa ja vahe

Põhiseosed

Kahekordse nurga valemid

Seotud sisu

Võrrandi tegurdamine

Näide 1

Lahendus

Joonis1

Joonis 2

Vastus

Seotud sisu

Ruutvõrrandiks teisendamine

Märka

Näide 2

Lahendus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Homogeensed võrrandid

Võrrand on homogeenne

Märka

Näited

Näide 3

Lahendus

Vastus

Näide 4

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Pikk lahenduskäik

Teisendamine

Esimene lahend

Teine lahend

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Trigonomeetrilised võrrandid