Joonisel on kujutatud ristkülik, mille pindala on 40 cm2 ja mille üks külg on teisest 3 cm pikem. Kui pikad on selle ristküliku küljed?
Otsitavate külgede leidmiseks peame lahendama võrrandi
x(x + 3) = 40 ehk x2 + 3x – 40 = 0.
Saadud võrrand on ruutvõrrand. Seda ei oska me veel lahendada. Järgnevas õpimegi ruutvõrrandite lahendamist.
Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit ax2 + bx + c = 0,
milles a, b ja c on antud arvud (a ≠ 0) ja x on tundmatu.
Arvud a, b ja c on ruutvõrrandi kordajad. Näiteks võrrandis x2 + 3x – 40 = 0 on a = 1, b = 3 ja c = –40. Ruutvõrrandi liikmetel on kindlad nimetused:
ax2 – ruutliige (tundmatu teise astme liige);
bx – lineaarliige (tundmatu esimese astme liige);
c – vabaliige (ei sisalda tundmatut).
Edaspidises eeldame, et ruutliikme kordaja a > 0. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne, korrutame võrrandi mõlemaid pooli arvuga –1 ja saame kordajaks a positiivse arvu.
Ruutvõrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige, kolmandal kohal vabaliige ning paremal poolel null, on normaalkujuline ruutvõrrand. Näiteks võrrandid ax2 + bx + c = 0 ja 3x2 – 2x + 17 = 0 on normaalkujulised, kuid võrrand –4x2 + 3x = –4 ei ole normaalkujuline. Normaalkujulises ruutvõrrandis võivad lineaarliige, vabaliige või need mõlemad ka puududa.
Kui normaalkujulises ruutvõrrandis on kõik kolm liiget olemas (kumbki kordajatest b ja c ei ole 0), siis on tegemist täieliku ruutvõrrandiga. Kui aga ruutvõrrandis puudub lineaarliige või vabaliige või need mõlemad, siis see võrrand on mittetäielik ruutvõrrand. Näiteks võrrandid 2x2 –7x = 0, 3,8x2 –1,6 = 0 ja 10x2 = 0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.
Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja a = 1, nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks. Selline võrrand on näiteks x2 – 2x – 4 = 0. Kui a ≠ 1, siis on tegemist taandamata ruutvõrrandiga. Taandamata ruutvõrrandi võib alati taandatud ruutvõrrandiks teisendada. Selleks tuleb võrrandi mõlemaid pooli jagada ruutliikme kordajaga. Näiteks, jagades võrrandi 5x2 + 10x – 3 = 0 mõlemaid pooli 5-ga, saame taandatud ruutvõrrandi x2 + 2x – 0,6 = 0.
Ülesanded A
Ruutvõrrand | Ruutliige | Lineaarliige | Vabaliige |
2x2 + 5x + 7 = 0 | |||
3x2 – 4x + 5 = 0 | |||
–3x2 + 2x = 0 | |||
x2 – 9 = 0 |
- 5x2 = 0
- 2x2 – 3x = 0
- x2 – 9 = 0
- x2 + 7x – 4 = 0
Võrrand | Normaalkujuline võrrand | Täielik või mittetäielik | Kordajad |
x2 = 3(x + 2) | a = b = c = | ||
(t – 2)(t + 2) = 5 | a = b = c = | ||
(u + 1)2 – 2u2 = 3 | a = b = c = | ||
2v(v – 5) = 0 | a = b = c = |
Taandamata ruutvõrrand | Taandatud ruutvõrrand |
3x2 – 6x – 12 = 0 | |
5t2 – 25t + 4 = 0 | |
0,5z2 – z + 3 = 0 | |
4s2 – s + 2 = 0 |
