Ratsionaalavaldis

Eelnevates klassides oled õppinud teisendama mitmesuguseid avaldisi. Neist enamiku eripäraks oli see, et nad ei sisaldanud muutujat jagajas. Sellise omadusega avaldised moodustavad avaldiste ühe alaliigi, täisavaldiste hulga.

Täisavaldiseks nimetatakse avaldist, mis ei sisalda muutujat jagajas.

Täisavaldised on näiteks

$\frac{2}{3}$ ; a; 2a + 3ab; $\frac{3 (a^{2} - b^{2})}{3}$ ; (2x + y)² ⋅ 3x – (2x – 1)(2x + 1).

Kõik üks- ja hulkliikmed ning arvavaldised on täisavaldised, sest nad ei sisalda muutujat jagajas. Samuti on täisavaldised ka avaldised, mis on saadud üks- ja hulkliikmetest liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja naturaalarvulise astendajaga astendamisel. Täisavaldised ei ole

$\frac{a}{b}$ ; $\frac{3}{m - 4} + 2$ ; $\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$ ; $x + \frac{1}{x - y}$ ; (3a – 5) : (1 – b),

sest nad sisaldavad muutujat jagajas.

Laiendame nüüd oma oskusi ja õpime teisendama keerukama kujuga avaldisi, kus muutuja võib esineda ka jagajas.

Avaldisi, milles muutujate ja/või arvudega sooritatavad tehted võivad olla liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning täisarvulise astendajaga astendamine, nimetatakse ratsionaalavaldisteks.

Ratsionaalavaldised on näiteks

$2 + \frac{1}{3}$ ; 2a²(a – b) + (a + b)²; $a - \frac{1}{a + b}$ ; $(\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} - a) (a^{2} + 2 a b + b^{2}) : [\frac{1}{a} + {(a + 1)}^{2}]$ .

Seega kõik avaldised, mis on moodustatud arvudest ja/või muutujatest seniõpitud tehete abil, välja arvatud juurimine, on ratsionaalavaldised. Ratsionaalavaldised ei ole

$\sqrt{2}$ ; $\frac{\sqrt{2} - 1}{a}$ ; $3 + (\frac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}) \cdot a$ ; ${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} - \frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ ,

sest nad sisaldavad juurimistehet.

Selleks et teisendada täisavaldisi, tuleb osata tehteid üks- ja hulkliikmetega. Keerukamate ratsionaalavaldiste puhul sellest üldjuhul ei piisa. Peab tundma ka tehteid algebraliste murdudega.

Avaldist kujul $\frac{a}{b}$ , kus a ja b tähistavad täisavaldisi, nimetatakse algebraliseks murruks.

Algebralised murrud on näiteks

$\frac{3}{4}$ ; $\frac{2 (5 + 7)}{4 - 9}$ ; $\frac{- x}{5}$ ; $\frac{2}{m - 10}$ ; $\frac{a + b}{a^{2} + b^{2}}$ .

Seevastu avaldised

$2 \frac{1}{5}$ ; (x – y) : 4; x(x – 1) ja $x + \frac{x}{y}$

pole algebralised murrud, kuid neile avaldistele saab anda algebralise murru kuju:

$2 \frac{1}{5} = \frac{11}{5}$ ; $(x - y) : 4 = \frac{x - y}{4}$ ; $x (x - 1) = \frac{x (x - 1)}{1}$ ; $x + \frac{x}{y} = \frac{x y + x}{y}$ .

Järgnevas õpimegi algebralisi murde liitma, lahutama, korrutama, jagama ja astendama.

Seotud sisu

Ülesanded A

$2 x^{2} y + 3 x y^{2}$
$14^{2} - 12 \cdot 3$
${(a + b)}^{2}$
$\frac{1}{2} + a$
$\frac{2 + 7}{2 \cdot 7}$
$\frac{5}{6}$
$x (x + \frac{1}{y})$
$\frac{8^{2} + b^{2}}{2 a b}$
${(\frac{x - y}{\sqrt{x}})}^{2}$
$\frac{2 x (x - 1)}{3}$
$(\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}}) : (x y)$
$\frac{{(2 - x)}^{2}}{{(2 - y)}^{2}}$
$\frac{\frac{1}{\sqrt{a}} - b}{a - b}$
$(5 + \frac{7}{2}) \cdot 5$
$v - {(\frac{1}{u} - v)}^{2}$

$2 x^{2} y + 3 x y^{2}$
$14^{2} - 12 \cdot 3$
${(a + b)}^{2}$
$\frac{1}{2} + a$
$\frac{2 + 7}{2 \cdot 7}$
$\frac{5}{6}$
$x (x + \frac{1}{y})$
$\frac{8^{2} + b^{2}}{2 a b}$
${(\frac{x - y}{\sqrt{x}})}^{2}$
$\frac{2 x (x - 1)}{3}$
$(\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}}) : (x y)$
$\frac{{(2 - x)}^{2}}{{(2 - y)}^{2}}$
$\frac{\frac{1}{\sqrt{a}} - b}{a - b}$
$(5 + \frac{7}{2}) \cdot 5$
$v - {(\frac{1}{u} - v)}^{2}$

$2 x^{2} y + 3 x y^{2}$
$14^{2} - 12 \cdot 3$
${(a + b)}^{2}$
$\frac{1}{2} + a$
$\frac{2 + 7}{2 \cdot 7}$
$\frac{5}{6}$
$x (x + \frac{1}{y})$
$\frac{8^{2} + b^{2}}{2 a b}$
${(\frac{x - y}{\sqrt{x}})}^{2}$
$\frac{2 x (x - 1)}{3}$
$(\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}}) : (x y)$
$\frac{{(2 - x)}^{2}}{{(2 - y)}^{2}}$
$\frac{\frac{1}{\sqrt{a}} - b}{a - b}$
$(5 + \frac{7}{2}) \cdot 5$
$v - {(\frac{1}{u} - v)}^{2}$

täisavaldistest;
ratsionaalavaldistest;
algebralistest murdudest.

on täisavaldis;
pole täisavaldis;
on algebraline murd;
pole algebraline murd.

ruutude summat;
vahe ruutu;
summa ja vahe jagatist;
ruutude vahe pöördarvu;
summa ja vahe jagatise ning selle jagatise pöördarvu summat;
ruutude vahe ja samade arvude summa jagatisest viie võrra suuremat arvu.

Ära kirjuta avaldistesse tühikuid ja ruut sisesta kas koodiga Alt+0178, peale sümbolit ^ või kopeeri siit: ². Algebralisel murrul kirjuta lugeja ja nimetaja sulgudesse ning murrujoonena kasuta kaldkriipsu (/).

Mis liiki on saadud avaldised?

ja tema numbrite summa jagatist;
ja tema numbrite korrutise vahest kolme võrra väiksemat arvu;
numbrite ruutude summa ja numbrite vahe jagatist;
ja sellise arvu jagatist, mis on saadud tema numbrite vahetamise teel.

Mis liiki on saadud avaldised?

Seotud sisu

Ülesanded B

Kahe arvu kuupide summa ja nende arvude summa jagatisele on liidetud nende arvude korrutis. Tulemusest on lahutatud nende arvude summa ruut. Saadud vahe on jagatud kahega.

Uuri taskuarvutil, kuidas kasutada seda ülesannet arvude äraarvamise mängu koostamisel.

Tekst õpetajale

[\frac{a^{3} + b^{3}}{a + b} + a b - {(a + b)}^{2}] : 2

S =

Rong sõitis linnast A linna B kiirusega $80 \frac{km}{h}$ ja linnast B linna A kiirusega $100 \frac{km}{h}$ . Koosta avaldis linnast A linna B ja sealt tagasisõiduks kuluva aja arvutamiseks, teades, et linnas B peatuti 30 min.

$\frac{2}{3}$ sellest ajast sõitis auto kiirusega $a \frac{km}{h}$ , ülejäänud maa aga kiirusega $b \frac{km}{h}$ . Koosta avaldis linnadevahelise kauguse arvutamiseks.

s =

Paadi kiirus seisvas vees on $a \frac{km}{h}$ , jõe voolu kiirus aga $3 \frac{km}{h}$ . Koosta avaldis kogu teekonna läbimiseks kuluva aja arvutamiseks.

Tekst õpetajale

\frac{30}{a - 3} + \frac{25}{a + 3}

Ants ujub seisvas vees kiirusega $x \frac{km}{h}$ . Tal on kavas ujuda mööda jõge allavoolu 100 m ja siis samapalju tagasi. Koosta avaldis, mille abil saad arvutada Antsul kogu distantsi läbimiseks kuluva aja, kui voolu kiirus jões on $2 \frac{km}{h}$ .

Kui suur peaks olema Antsu ujumiskiirus, et tal oleks lootust kunagi lähtekohta tagasi jõuda?

Vastus. Antsu ujumiskiirus peab olema suurem kui $\frac{km}{h}$ .

Tekst õpetajale

\frac{0,1}{x + 2} + \frac{0,1}{x - 2}

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ratsionaal­avaldis

Seotud sisu

Ülesanded A

Seotud sisu

Ülesanded B

Tekst õpetajale

Tekst õpetajale

Tekst õpetajale

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ratsionaalavaldis