Teatavasti on kaks kolmnurka sarnased, kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega. Siit järeldub, et kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui ühe kolmnurga teravnurk on võrdne teise kolmnurga teravnurgaga. Seega on kõik joonisel 1 kujutatud täisnurksed kolmnurgad üksteisega sarnased. Neid kolmnurki saab paigutada nii, nagu on näidatud joonisel 2.
Kolmnurkade ABC ja ADE sarnasusest järeldub, et
ehk
.
Analoogiliselt saame kolmnurkade ADE ja AKF sarnasusest ning kolmnurkade AKF ja AGH sarnasusest, et
ja
.
Kolmest viimasest võrdusest järeldub, et
ehk sõnastatult:
ühe ja sama teravnurga α korral on kõigis täisnurksetes kolmnurkades selle teravnurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe sama.
Kui tahame seda suhet määrata mingi teravnurga α korral, piisab järelikult nurga α vastaskaateti ja hüpotenuusi suhte leidmisest vaid ühes täisnurkses kolmnurgas. Olgu (täisnurkses kolmnurgas) nurga α vastaskaatet a ja hüpotenuus c, siis nurgale vastav kõnealune suhe on .
Näide 1
Leiame joonise andmetel nurkadele 23°, 42° ja 63° vastava suhte .
Lahendus.
Nurgale α = 23° vastab suhe
nurgale α = 42° suhe
nurgale α = 63° suhe
Jooniselt on näha, et nurga α muutudes muutub selle vastaskaateti pikkus ning järelikult ka suhe a : c (hüpotenuus on kõigi nende kolmnurkade korral sama, c = 100).
Nurgale α vastavat suhet nimetatakse nurga α siinuseks ja tähistatakse sümboliga sin α.
Seega täisnurkse kolmnurga
teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, sümbolites:
ja
Näide 2
Leiame täisnurkse kolmnurga nurga α ja nurga β siinuse, kui a = 3, b = 4 ja c = 5.
Lahendus. Et teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, siis
sin α = = = 0,6
ja
sin β = = = 0,8.
Vastus. sin α = 0,6; sin β = 0,8.
Kolmnurga külgede pikkused on positiivsed suurused, kusjuures täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on alati pikem kui kaatetid. Järelikult on
ja
ehk
.
Asendades suhte sümboliga sin α, saame, et
0 < sin α < 1,
teravnurga siinus on suurem kui 0 ja väiksem kui 1.
Seejuures
nurga α kasvades kasvab sin α väärtus.
Tõepoolest, jättes hüpotenuusi pikkuse samaks, kasvab nurga suuruse kasvades nurga vastaskaateti pikkus (vt joonist näite 1 juures) ja järelikult ka suhe , s.o sin α väärtus.
Nurga siinuse väärtuse (sin α) järgi saab konstrueerida nurga α. Nurga siinuseks (sin α) võib seejuures olla iga arv 0 ja 1 vahel.
Näide 3
Olgu sin α = 0,625. Konstrueerime nurga α.
Lahendus.
Et ja täisnurkses kolmnurgas , siis järelikult tuleb konstrueerida täisnurkne kolmnurk, milles kaatet a = 5 ja hüpotenuus c = 8 pikkusühikut, näiteks sentimeetrit.
Selleks joonestame täisnurga. Kanname nurga ühele haarale alates tipust B kaateti 5 cm. Saadud punktist C kui ringjoone keskpunktist joonestame kaare raadiusega 8 cm lõikumiseni täisnurga teise haaraga. Saame punkti A.
Tekkinud kolmnurga ABC nurk α ongi otsitav nurk, sest tõepoolest .
Näide 4
Leiame täisnurkse kolmnurga kaatetid ja pindala, kui hüpotenuus c = 80 cm ja sin α = 0,125.
Lahendus.
Täisnurkses kolmnurgas on .
Antud on, et sin α = 0,125 ja c = 80. Seega , millest a = 80 · 0,125 = 10 (cm).
Kaateti b saame Pythagorase teoreemiga:
a2 + b2 = c2, millest b2 = 802 – 102 = 6300 ja
≈ 79,4 (cm).
Pindala = = ≈ 396,9 (cm2).
Vastus. a = 80 cm; ≈ 79,4 cm; ≈ 396,9 cm2.
Ülesanded A
 | sin α = | ||||
 | sin β = | ||||
 | sin γ = sin ε = | ||||
 | sin α = sin δ = | ||||
 | sin β = sin γ = | ||||
 | sin α = |
 | sin β = |
 | sin γ = sin δ = |
 | sin α ≈ sin β ≈ |
 | sin β ≈ sin γ ≈ |
Vastus. sin α ≈
Vastus. Teravnurkade siinused on ja .
a = 4, | sin α ≈ |
b = 27, c = 45 | sin α = |
a = 1, b = 2 | sin α ≈ |
Vastus. Egiptuse kolmnurga teravnurkade siinused on ja .
Vastus. Selle kaateti vastasnurga siinus on .
Vastus. Selle kaateti vastasnurga siinus on .
Vastus. Selle kaateti vastasnurga siinus on .
Vastus. Selle kaateti vastasnurga siinus on .
Täisnurkse kolmnurga kaatet moodustab hüpotenuusist . Leia selle kaateti vastasnurga siinus.
Vastus. Selle kaateti vastasnurga siinus on .
sin 20° sin 40°
sin 42°16' sin 43°
sin 44' sin 1°
sin 8°14' sin 7°14'
sin 20° ≈
sin 30° ≈
sin 55° ≈
sin 72° ≈
Vastus. Nurga α vastaskaatet on cm.
Vastus. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on ja .
Vastus. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on dm ja teine kaatet dm.
Vastus. Teravnurga α vastaskaatet on ja lähiskaatet on .
Ülesanded B
Vastus. S ≈ dm2.
Vastus. Antud kaateti vastasnurga siinus on .
Vastus. sin α = .
