Koonuse pindala

Kui lõikame koonuse külgpinna mööda moodustajat lahti ja laotame tasandile, saame koonuse külgpinnalaotuse (joonis 1). See on ringi sektor, mille raadiuseks on koonuse moodustaja ja kaare pikkuseks koonuse põhja ümbermõõt.

Joonis 1

Külgpinnalaotuse pindala on koonuse külgpindala S_k. Kuidas seda arvutada? Arutleme järgmiselt.

Korrapärane püramiid meenutab seda paremini koonust, mida suurem on põhjahulknurga nurkade/tippude/külgede arv n (Joonis 2). Seetõttu võib arvata, et ka koonuse külgpindala S_k arvutamise valem peaks olema sarnane korrapärase püramiidi vastava valemiga $S_{k} = \frac{P}{2} \cdot m$ , kus P on põhja (hulknurga) ümbermõõt ja m külgtahu kõrgus.

Joonis 2

Koonuse korral peaks siis P olema ringi ümbermõõt 2πr ja püramiidi apoteemi m asemel koonuse moodustaja m.

Nii saame koonuse külgpinna arvutamiseks valemi $S_{k} = \frac{P}{2} \cdot m$ = $\frac{2 π r}{2} \cdot m$ ehk

S_k = πrm,

mis osutub ka tõeseks.

Et πr on pool koonuse põhja ümbermõõdust, siis

koonuse külgpindala võrdub poole põhja ümbermõõdu ja moodustaja korrutisega.

Koonuse täispindala S_t on külgpindala S_k ja põhja pindala S_p summa:

S_t = S_k + S_p,

kus S_p = πr².

Näide

Leiame koonuse täispindala, kui koonuse moodustaja m = 6,5 m ja põhja raadius r = 4 m.

Lahendus.

Põhja pindala S_p = πr² = π · 4² = 16π (m²). Külgpindala S_k = πrm = π · 4 · 6,5 = 26π (m²) ning täispindala S_t = S_p + S_k = 16π + 26π = 42π (m²) ≈ 131,9 (m²).