Reaalarvu mõiste

Kursus „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused”

Võib arvata, et ratsionaalarvud katavad aukudeta kogu arvtelje. Selgub aga, et nii see pole. Arvteljele jäävad endiselt tühikud, millele vastavaid arve me veel ei tunne. Üheks selliseks arvuks on nn ühikruudu diagonaali pikkus.

Lõigates ruudu, mille pindala on 1 ruutühik (rü), pooleks mööda tema diagonaali, saame kaks võrdset kolmnurka pindalaga 0,5 rü. Kas neljast sellisest kolmnurgast on võimalik moodustada ruut, mille pindala on 2 rü?

Lahendades ülaltoodud ülesannet on loomulik küsida:

Mis liiki arv väljendab saadud ruudu külje pikkust?
Kas see arv saab olla täisarv? (Uurige järjestikuste täisarvude ruute!)
Kas see arv saab olla mingi täisarvust erinev ratsionaalarv, s.o mingi taandumatu murd \frac{a}{b}, kus a ja b ∈ Z, b\ne0 ning b\ne1?

Saab näidata, et otsitav arv ei ole ratsionaalarv.

TEOREEM. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2.

Tõestus

Oletame vastupidiselt väitele, et selline ratsionaalarv siiski leidub, ja tähistame ta sümboliga

\sqrt{2}

. Eelnevas selgus, et

\sqrt{2}

ei saa olla täisarv. Järelikult võib ta olla mingi taandumatu murd kujul

\frac{a}{b}

, kus a ja b on ühistegurita. Seega

$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ ehk $2 = {(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a}{b \cdot b}$ .

Et arvud a ja b on ühistegurita arvud (neil puuduvad ühised algtegurid) ja arvu ruutu tõstmine ei lisa uusi algtegureid, siis on ka murd $\frac{a \cdot a}{b \cdot b}$ taandumatu ega saa võrduda arvuga 2. Järelikult pole õige ka meie oletus, et otsitav arv on ratsionaalarv.

Seega on olemas veel arve, mida me seni pole vaadelnud. Neid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks.

Irratsionaalarvu \sqrt{2} paiknemist arvteljel iseloomustavad järgmised võrratused:

1<\sqrt{2}<2

1,4<\sqrt{2}<1,5

1,41<\sqrt{2}<1,42

\left(1^2=1;\ 2^2=4\right);\left(1,4^2=1,96;\ 1,5^2=2,25\right);\left(1,41^2=1,9881;\ 1,42^2=2,016\right);

Täpsemad arvutused näitavad, et\sqrt{2}=1,414213562373...Et \sqrt{2} pole ratsionaalarv, siis pole ta ka lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna.

Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks.

Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Sinna kuuluvad näiteks arvud: \sqrt{2}; \sqrt{3}; -\sqrt{7}; π jt.

Märkus

Irratsionaalarvudega arvutamisel piirdutakse nende ligikaudsete väärtustega ehk lähenditega. Näiteks sajandikeni ümardatult on

π \approx 3,14

;

\sqrt{2} \approx 1,41

\sqrt{3} \approx 1,73

. Kui arvud on esitatud kujul π,

\sqrt{2}

või

\sqrt{3}

, siis öeldakse, et on antud irratsionaalarvu täpne väärtus. Irratsionaalarvu täpne väärtus võib olla esitatud ka juuremärke sisaldava avaldisena:

$3 \sqrt{5}$ ; $5 - \sqrt{2}$ ja $\sqrt{\sqrt{π} - 1}$ .

Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R:

R = I ∪ Q ja Q ⊂ R.

Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et

iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna.

Arvuhulkade laiendamist kirjeldab kokkuvõtvalt joonis 1.6.

Joon. 1.6.

Seotud sisu

Ülesanded

Leidke arvutil arvu \sqrt{3} kümnendikeni, sajandikeni ja tuhandikeni ümardatud väärtused.

Täpne väärtus	Kümnendikeni ümardatud väärtus	Sajandikeni ümardatud väärtus	Tuhandikeni ümardatud väärtus
\sqrt{3}

$- \sqrt{4}$
13,5
$\sqrt{5}$
$- \frac{3}{8}$
100,01
–π
$\sqrt{144}$
0
$\sqrt{- 9}$
$- 2 \frac{3}{5}$

$- \sqrt{4}$
13,5
$\sqrt{5}$
$- \frac{3}{8}$
100,01
–π
$\sqrt{144}$
0
$\sqrt{- 9}$
$- 2 \frac{3}{5}$

$- \sqrt{4}$
13,5
$\sqrt{5}$
$- \frac{3}{8}$
100,01
–π
$\sqrt{144}$
0
$\sqrt{- 9}$
$- 2 \frac{3}{5}$

$- \sqrt{4}$
13,5
$\sqrt{5}$
$- \frac{3}{8}$
100,01
–π
$\sqrt{144}$
0
$\sqrt{- 9}$
$- 2 \frac{3}{5}$

$- \sqrt{4}$
13,5
$\sqrt{5}$
$- \frac{3}{8}$
100,01
–π
$\sqrt{144}$
0
$\sqrt{- 9}$
$- 2 \frac{3}{5}$

$- \sqrt{4}$
13,5
$\sqrt{5}$
$- \frac{3}{8}$
100,01
–π
$\sqrt{144}$
0
$\sqrt{- 9}$
$- 2 \frac{3}{5}$

Kõik naturaalarvud on reaalarvud.
Kõik täisarvud on naturaalarvud.
Kõige väiksem naturaalarv on 0.
Mõni täisarv on naturaalarv.
Ükski ratsionaalarv pole täisarv.
Ükski irratsionaalarv pole täisarv.
Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud.
Mõni reaalarv on täisarv.
Pole olemas kõige suuremat ega kõige väiksemat reaalarvu.
Mõni ratsionaalarv on täisarv.
Kõik ratsionaalarvud on reaalarvud.
Iga kahe täisarvu vahel on veel täisarve.
Ükski naturaalarv pole täisarv.
Iga kahe ratsionaalarvu vahel on veel ratsionaalarve.

Leidke arvutil arvude \sqrt{2}; 2\sqrt{3} ja 3\sqrt{2} aritmeetiline keskmine. Ümardage vastus kümnendikeni, sajandikeni.

Vastus. Nende arvude aritmeetiline keskmine on kümnendikeni ümardatult ja sajandikeni ümardatult .

10 ühevärvilist;
Vastus. Võtta tuleb vähemalt kuuli.
vähemalt üks punane, üks roheline ja üks kollane kuul?
Vastus. Võtta tuleb vähemalt kuuli.

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Reaal­arvu mõiste

Kursus „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused”

Tõestus

Märkus

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Reaalarvu mõiste