Täisarvulise astendajaga aste

Kursus „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused”

Põhikoolist tunneme järgmisi naturaalarvulise astendajaga astendamise valemeid:

$a^{n} = a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a (n tegurit)$

$a^{1} = a$

${(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} (b \neq 0)$

${(a^{n})}^{m} = a^{n m}$

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} (a \neq 0)$

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Negatiivse arvu paarisarvuline aste on positiivne:

${(- a)}^{2 n} = a^{2 n} (a \geq 0) .$

Negatiivse arvu paarituarvuline aste on negatiivne:

${(- a)}^{2 n + 1} = - a^{2 n + 1} (a \geq 0) .$

–5² =

(–5)² =

–2⁵ =

(–2)⁵ =

\frac{3^{2}}{4}

{(\frac{3}{4})}^{2}

{(- \frac{2}{5})}^{2}

- {(\frac{2}{5})}^{2}

4^{6} \cdot {0,5}^{6}

{(2 \frac{1}{2})}^{2}

8^{5} \cdot {0,25}^{5}

{(1 \frac{1}{4})}^{3}

\frac{6^{5}}{2^{5}}

\frac{8^{4}}{4^{4}}

{(2^{2})}^{3}

{(3^{3})}^{2}

{(- 2^{2})}^{3}

{(- 3^{3})}^{2}

{2^{2}}^{3}

- {2^{2}}^{3}

{3^{2}}^{2}

\frac{{(3^{5})}^{2}}{{(3^{2})}^{4}}

- {3^{2}}^{2}

\frac{{(2^{2})}^{7}}{{(2^{5})}^{2}}

Vaatame nüüd astendamist juhul, kui astendaja on 0või negatiivne . Lähtume seejuures juba tuntud valemist\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.Võttes selles valemis m = n, saame, et a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}.Kuna n-n=0 ja \frac{a^n}{a^n}=1, siis

a^{0} = 1

. Seega

iga nullist erinev reaalarv astmes null on võrdne ühega.

0^0 kohta ütleme, et see pole määratud.

Kui valemis \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} võtta m=0, siis saame, et \frac{a^0}{a^n}=a^{0-n}. Arvestades seda, et a^0=1, saame siit ka negatiivse arvuga astendamise valemi a^{-n}=\frac{1}{a^n}.Kasutades seda valemit murru astendamisel saame, et\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=1\ :\ \left(\frac{a}{b}\right)^n=1\ :\ \frac{a^n}{b^n}=\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n ehk

{(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}

. Seega

iga nullist erineva reaalarvu astendamisel negatiivse arvuga astendame selle reaalarvu pöördarvu sama astendaja vastandarvuga.

Seotud sisu

Ülesanded

64; 32; 16; 8; 4; 2; ; ; ; ...

6; 5; 4; 3; 2; 1; ; ; ; ...

Kuidas on need read omavahel seotud?

{(3 + \frac{187}{305})}^{0} + 3^{- 1}

{(\frac{2}{3})}^{- 4}

{[2 - 1,8 (5)]}^{0} + 2^{- 1}

{(- \frac{4}{5})}^{- 2}

4^{- 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 5}

{(\frac{4}{3})}^{3} : {(0,75)}^{- 2}

{(0,75)}^{- 3} : {(1 \frac{1}{3})}^{2}

9^{- 3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{- 5}

{(0,375)}^{- 3} : {(2 \frac{2}{3})}^{2}

\frac{3^{- 1} - {(\frac{2}{3})}^{- 2}}{2 - {(\frac{3}{4})}^{2}} \cdot {(5^{0} - \frac{1}{6})}^{- 1} + 2 \cdot 10^{- 1}

{(6^{1} - 6^{- 1})}^{- 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{2} - 1^{3} \cdot 1^{0}}{4 - {(\frac{2}{5})}^{- 2}} - 3 \cdot 14^{- 1}

\frac{2^{- 3} + {(- \frac{1}{4})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{15 \cdot 15^{0} - {0,1}^{- 1}}

4¹⁰⁰ 32⁵⁰

2³⁰⁰ 3²⁰⁰

{(\frac{1}{16})}^{100}

2^-500

4³⁰⁰ 3⁴⁰⁰

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Täis­arvulise astendajaga aste

Kursus „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused”

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Täisarvulise astendajaga aste