Võrrandite sama­väärsus

Kursus „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused”

Sama­väärseteks nimetatakse samu tundmatuid sisaldavaid võrrandeid, mille lahendi­hulgad on võrdsed.

Näiteid.

Võrrandid 2(x – 5) = 6 ja x – 5 = 3 on sama­väärsed, sest mõlemal on üks ja sama lahend x = 8.

Võrrandid x2 – 4 = 0 ja 2x = 4 ei ole sama­väärsed, sest neil on küll üks ühine lahend x = 2, kuid esimesel võrrandil on veel teine lahend x = –2, aga see ei ole teise võrrandi lahend.

Sama­väärsed on ka näiteks võrrandid  \frac{1}{x-1}=0 ja x2 + 8 = 0 , kuna neil mõlemal lahendid puuduvad.

Võrrandite sama­väärsust tähistab märk ⇔. Nii näiteks võib kirjutada 2(x – 5) = 6 ⇔ x – 5 = 3.

Võrrandite sama­väärsust säilitavad järgmised teisendused.

  1. Võrrandi pooli võib vahetada.

f(x) = g(x) ⇔ g(x) = f(x)

  1. Võrrandi pooltele võib liita (lahutada) ühe ja sama arvu või tundmatuid sisaldava avaldise, millel on mõte võrrandi kogu määramis­piir­konnas.

f(x) = g(x) ⇔ f(x) ± m(x) = g(x) ± m(x)

Järeldus. Võrrandi liikmeid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele poolele, muutes üle­viidava liikme märgi vastu­pidiseks.

  1. Võrrandi pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

f(x) = g(x) ⇔ cf(x) = cg(x), c ≠ 0

f(x) = g(x) ⇔ f(x) : c = g(x) : c, c ≠ 0

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

3x + 2 = 2x – 7 ja x = –9

x+\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}-2 ja x = –2

\frac{x+1}{x^2-1}=0 ja x+1=0

(x −1)3 = 0 ja x − 1 = 0

  1. on üks lahend,
  2. on kaks lahendit,
  3. lahendid puuduvad.

  1. korrutamine tundmatut sisaldava täis­avaldisega;
  2. jagamine tundmatut sisaldava täis­avaldisega.

a = b |⋅ a;

a2 = ab (liidame mõlemale poolele –b2);

a2 – b2 = ab – b2;

(a + b)(a – b) = b(a – b) |: (a – b);

a + b = b ehk a + a = a ehk 2a = a ehk a=\frac{1}{2}a.

Ülesandeid 133–135 lahendades jõudsime selliste teisendusteni, mille tulemusena võrrandi lahendi­hulk muutub: lahendeid läheb kaotsi või tuleb juurde. Need teisendused pole võrrandi sama­väärsus­teisendused.

Võrrandi lahendeid võivad juurde tuua järgmised teisendused:

  1. võrrandi poolte korrutamine tundmatut sisaldava täis­avaldisega;
  2. võrrandi poolte korrutamine 0-ga.

Neid võrrandi teisendamise käigus tekkivaid lahendeid, mis ei ole esi­algse võrrandi lahenditeks, nimetatakse võõr­lahenditeks. Võõr­lahendite välja­eraldamiseks tuleb kõiki saadud lahendeid kontrollida, asendades need esi­algsesse võrrandisse.

Võrrandi lahendeid võib minna kaotsi, kui võrrandi pooli jagada tundmatut sisaldava täis­avaldisega.

Seotud sisu
Muud tegevused