Võrrandi­süsteemid

Näide 1.

Lahendame võrrandi­süsteemi $$ \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y=3\\ 3x+y=5\end{array}\right.$$ asendus­võttega.

Selleks avaldame teisest võrrandist y = 5 – 3x ja asendame saadud avaldise esimesse võrrandisse: x² + 5 – 3x = 3 ⇔ x² – 3x + 2 = 0, millest x₁ = 1 ja x₂ = 2.

Vastavad y väärtused saame võrrandist y = 5 – 3x.

y₁ = 5 – 3 ⋅ 1 = 2 ja y₂ = 5 – 3 ⋅ 2 = –1.

Seega saime lahendiks kaks arvu­paari $$ \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$$ ja $$ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$$ ehk (1; 2) ja (2; −1).

Kontroll näitab, et mõlemad arvu­paarid sobivad.

Vastus. (1; 2), (2; −1).

Näide 2.

Lahendame võrrandi­süsteemi $$ \left\{\begin{array}{l}4x-2y=\mathrm{2,8}\\ 7x+4y=-\mathrm{2,6}\end{array}\right.$$ liitmis­võttega.

Sel juhul korrutame ühe (või mõlema) võrrandi pooli sellise nullist erineva arvuga, et saadud võrrandeid liites tuleks ühe tundmatu kordajaks 0.

Korrutame näite esimese võrrandi pooli 2-ga ja see­järel liidame võrrandid.

$$ \begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}4x-2y=\mathrm{2,8} |·2\\ 7x+4y=-\mathrm{2,6}\end{array}\right.\\ \end{array}\iff \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}8x-4y=\mathrm{5,6}\\ 7x+4y=-\mathrm{2,6}\end{array}\right.\\ 15x =3\text{, millest }x=\mathrm{0,2}\end{array}$$

Nüüd asendame leitud x väärtuse üks­kõik kumba (mõistagi lihtsamasse) võrrandisse ja leiame y väärtuse:

4 ⋅ 0,2 – 2y = 2,8 ⇔ –2y = 2,8 – 0,8 ⇔ y = –1.

Vastus. (0,2; −1).

Näide 3.

Lahendame võrrandi­süsteemi $$ \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x+3=3y\end{array}\right.$$  graafiliselt.

Selleks joonestame samasse koordinaat­teljestikku võrranditele vastavate funktsioonide graafikud, antud juhul sirged (vt. joon. 1.10). Võrrandi­süsteemi lahendiks on kahe sirge lõike­punkt (3; 2).

Joon. 1.10

Vastus. (3; 2).