Murd­võrrandid

Kursus „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused”

Vastus. Paadi kiirus seisvas vees peaks olema  km/h.

Selle ülesande lahendamiseks koostame võrrandi.

Olgu paadi kiirus seisvas vees x km/h. Päri­voolu sõites oleks selle paadi kiirus (x + 3) km/h ja vastu­voolu sõites (x – 3) km/h. Päri­voolu sõiduks kulub seega paadil aega \frac{28}{x+3} tundi ja vastu­voolu sõiduks \frac{28}{x-3} tundi. Kuna kogu sõiduks kulub 7 tundi, saame võrrandi \frac{28}{x+3}+\frac{28}{x-3}=7.

Oleme saanud uut tüüpi võrrandi, milles tundmatu on murru nimetajas. See on murd­võrrand.

Murd­võrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas.

Näiteks \frac{2}{x-3}=5 on murd­võrrand, kuid \frac{x-5}{2}=7 ei ole murd­võrrand.

Murd­võrrandite lahendamiseks on erinevaid võimalusi.

  1. Tavaliselt tuuakse võrrandi kõik liikmed ühele poole võrdus­märki (tavaliselt vasakule) ja viiakse ühisele nimetajale. See­järel kasutatakse murru nulliga võrdumise tingimust:

murd on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui murru lugeja võrdub nulliga ja nimetaja on nullist erinev.

Sümbolites kirjutatuna: ab=0 ⇔ a=0 ja b≠0.

Selle tingimuse kohaselt võrdsustame murru lugeja nulliga ja lahendame vastava võrrandi. Leitud lahendite hulgast kõrvaldame need, mis muudavad nimetaja nulliks. Kui murd­võrrand on saadud mingi elulise sisuga ülesande lahendamisel, siis tuleb lahendite kõrvaldamisel arvestada ka ülesande sisust tulenevate lisa­tingimustega. Nii näiteks ei sobi lahenditeks negatiivsed arvud, kui leitakse kujundi mõõtmeid, liikumise kiirust, aega, tee pikkust jne.

  1. Teine võimalus murd­võrrandi lahendamiseks on teisendada võrrand võrde­kujuliseks võrrandiks \frac{a}{b}=\frac{c}{d} ja kasutada võrde põhi­omadust:

võrde välis­liikmete korrutis võrdub sise­liikmete korrutisega ehk
​ab=cd ⇔ ad = bc, kus b≠0, d≠0.

Rõhutame veel­kord, et saadud lahendeid tuleb iga murd­võrrandi korral kontrollida. Need x väärtused, mis muudavad esi­algses võrrandis mõne nimetaja nulliks, ei sobi võrrandi lahenditeks. Need on nn võõr­lahendid.

Vaatleme murd­võrrandi erinevaid lahendus­viise järgnevate näidete abil.

Näide 1.

Lahendame ülesandes 156 saadud murd­võrrandi, kasutades murru nulliga võrdumise tingimust: \frac{28}{x+3}+\frac{28}{x-3}=7. Toome liikmed vasakule ja viime ühisele nimetajale

28x + 3+x - 328x - 3-x + 37x2 - 9=0

28x - 3 + 28x + 3 - 7x2 - 9x + 3x - 3=0

Kasutame murru nulliga võrdumise tingimust:

28x-3+28x+3-7x2-9=0   (1)x+3x-3≠0                                   (2)

Lahendame võrrandi (1):

28x – 28 ⋅ 3 + 28x + 28 ⋅ 3 – 7x2 + 63 = 0
​–7x2 + 56x + 63 = 0
x2 – 8x – 9 = 0​
x1 = 9 ja x2 = –1​

Tingimusest (2) leiame, et korrutis (x + 3)(x – 3) on 0, kui (x + 3) = 0 ehk x = –3, samuti kui (x – 3) = 0 ehk x = 3. Järelikult tingimuse (2) järgi x ≠ ±3.

Kontrollime, kas saadud arvud x1 = 9 ja x2 = –1 on ka ülesande lahendiks. Mõlemad arvud rahuldavad tingimust (2), sest korrutis (x + 3)(x – 3) ei ole nende korral 0. Seega on nad esi­algse murd­võrrandi lahendid. Samas ei ole x2 = –1 ülesande 156 lahendiks, sest kuidas saaks paat sõita kiirusega –1 km/h?

Kontrollime lahendit x1 = 9ka ülesande teksti järgi:

Vpärivoolu = 9 + 3 = 12 (km/h) ja tpärivoolu = \frac{28}{12}=2\frac{1}{3} (h),

Vvastuvoolu = 9 – 3 = 6 (km/h) ja tvastuvoolu = \frac{28}{6}=4\frac{2}{3} (h).

Seega kogu sõiduks kuluv aeg ongi 2\frac{1}{3}+4\frac{2}{3}=7 tundi.

Vastus. Paadi kiirus seisvas vees peaks olema 9 km/h.

Näide 2.

Lahendame murd­võrrandi \frac{1}{x}=\frac{x-1}{2}, kasutades võrde põhi­omadust:

2 = x(x – 1)
x2 – x – 2 = 0​
x1 = –1 ja x2 = 2​

Ka nüüd tuleb kontrollida, kas saadud x väärtuste korral on esi­algse võrrandi mõni nimetaja võrdne nulliga. Kuna kumbki saadud lahenditest ei muuda esi­algse võrrandi nimetajaid nulliks, sobivad mõlemad.

Vastus. x1 = –1 ja x2 = 2.

Näide 3.

Lahendame võrrandi \frac{x}{x+4}-\frac{x}{x^2-16}=\frac{x}{x-4}.

Kõige­pealt tegurdame teise nimetaja: x2 – 16 = (x + 4)(x – 4).

Toome kõik liikmed vasakule ja viime murrud ühisele nimetajale, milleks on (x + 4)(x − 4):

\frac{x}{x+4}-\frac{x}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=\frac{x}{x-4}

\frac{x}{x+4}-\frac{x}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}-\frac{x}{x-4}=0

\frac{x\left(x-4\right)-x-x\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=0

Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on 0 ja nimetaja ei ole 0:

x\left(x-4\right)-x-x\left(x+4\right)=0

x^2-4x-x-x^2-4x=0

-9x=0\ |\ :\left(-9\right)

x=0

Nüüd kontrollime, kas saadud lahend x = 0 muudab mõne nimetaja nulliks. See ei ole nii, sest

0 + 4 = 4, 0 − 16 = −16 ja 0 − 4 = −4.

Järelikult sobib x = 0 võrrandi lahendiks.

Vastus. x = 0.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

\frac{3}{x-1}

\frac{x-1}{x-2}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{2x}{5\left(x+1\right)}

\frac{3x}{x^2-1}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 5
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{x+7}{x\left(x+3\right)}

\frac{2x+8}{\left(x-8\right)\left(x-5\right)}

  • –7
  • –3
  • –1
  • 0
  • 1
  • 3
  • –8
  • –5
  • –4
  • 4
  • 5
  • 8

\frac{3x+4}{x^2+1}

\frac{x^2-1}{x^2+x-2}

  • –4
  • –1,(3)
  • –1
  • 1
  • 1,(3)
  • 4
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{3}{x-1}

\frac{x-1}{x-2}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{2x}{5\left(x+1\right)}

\frac{3x}{x^2-1}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 5
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{x+7}{x\left(x+3\right)}

\frac{2x+8}{\left(x-8\right)\left(x-5\right)}

  • –7
  • –3
  • –1
  • 0
  • 1
  • 3
  • –8
  • –5
  • –4
  • 4
  • 5
  • 8

\frac{3x+4}{x^2+1}

\frac{x^2-1}{x^2+x-2}

  • –4
  • –1,(3)
  • –1
  • 1
  • 1,(3)
  • 4
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{x}{x-2}-\frac{3}{x}=1
x =

\frac{4}{3+x}+2=10
x =

2-\frac{2x+7}{x+2}+\frac{1}{x}=0
x =

\frac{3+x}{2+x}+\frac{2}{3}=0
x =

\frac{1}{x+x^2}-\frac{1}{x}=0

\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}=0

x-\frac{3}{x-1}=3

\frac{2}{x-2}-\frac{x}{2}=\frac{x}{x-2}

\frac{6}{x}+\frac{3}{x+2}=2

\frac{9-x}{2}+\frac{4}{x-2}=\frac{3x-3}{2}

7+\frac{1}{v-1}=\frac{v^2}{v-1}

\frac{1}{x-2}+3=\frac{3-x}{x-2}

\frac{x-7}{x-2}-1=0

\frac{8-x}{x-7}=\frac{1}{7-x}-1

\frac{8-x}{x-7}+\frac{1}{7-x}=-1

\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}

\frac{x}{x+5}-\frac{x+2}{2}=\frac{1}{5+x}

\frac{2x-5}{x-2}=\frac{3x-5}{x-1}

\frac{3x+4}{x+1}=x+2

\frac{2}{x-3}=\frac{6}{x\left(x-3\right)}

\frac{3x}{6-2x}-\frac{7-6x}{3x-x^2}+\frac{3}{2}=0

\frac{2x^2}{x+1}+1=\frac{2}{x+1}

\frac{2}{t-2}-\frac{t}{2}=\frac{t}{t-2}

\frac{2x+7}{x+2}=2+\frac{1}{x}

Vastus. See murd on .

Vastus. Esialgne murd on  ja saadud murd on .

1+\frac{45}{x^2-8x+16}=\frac{14}{x-4}

\frac{5}{u-1}-\frac{4}{u^2-2u+1}=3

\frac{10}{x^2-4x-5}=\frac{3}{x-5}-\frac{x}{x+1}

\frac{7}{y^2+y-12}=\frac{y}{y+4}+\frac{1}{y-3}

\frac{x^2-3}{2x^2+x-1}=\frac{3}{x+1}

\frac{x^2+4}{3x^2-x-2}=\frac{2}{x-1}

Seotud sisu
Muud tegevused