Murd­võrrandite koostamine

Näide 1.

Kui jalg­rattur oleks sõitnud tunnis 2 km rohkem, siia oleks tal 72 km läbimiseks kulunud 30 minutit vähem aega. Kui suure kiirusega sõitis jalg­rattur tegelikult?

1. Tähistame otsitava tähega x ehk olgu jalg­ratturi tegelik kiirus x km/h.
2. Koondame ülesandes olevad andmed tabelisse.

1. Võrdleme tabeli viimases veerus esitatud aegasid. Väiksema kiirusega sõites (tegelik olu­kord) kulub aega rohkem, seega \frac{72}{x}>\frac{72}{x+2}.
2. Ülesande tekstist selgub, et kiiremini sõites kulub aega 30 minutit ehk \frac{1}{2} tundi vähem ehk aeglasemalt sõites \frac{1}{2} tundi rohkem. Seega saame võrrandi \frac{72}{x}-\frac{72}{x+2}=\frac{1}{2}.
3. Lahendame saadud murd­võrrandi ja kontrollime lahendeid ülesande teksti põhjal. Murd­võrrandi lahenditeks osutuvad arvud 16 ja –18. Viimane neist ei sobi ülesande lahendiks, kuna jalg­ratturi kiirus ei saa olla negatiivne.
   Kui jalg­ratturi kiirus on 16 km/h, siis kulub 72 km sõiduks aega 72 : 16 = 4,5 tundi. Kui sõita suurema kiirusega, kulub aega 72 : 18 = 4 tundi. Nende aegade vahe ongi pool tundi ehk 30 minutit.​

Vastus. Jalg­rattur sõitis kiirusega 16 km/h.

Näide 2.

30-liikmeline matka­grupp kavatses telkida nii, et igas telgis oleks võrdne arv inimesi. Selgus, et kui igasse telki paigutada üks inimene rohkem kui planeeritud, siis jääks üks telk matka­varustuse tarbeks. Mitu telki kavatseti kaasa võtta?

1. Tähistame kaasa­võetavate telkide arvu tähega x.
2. Koondame ülesande andmed tabelisse.

1. Võrdleme tabelis sisalduvaid avaldisi, lähtudes ülesande tekstist. Et teisel juhul on inimesi telgis rohkem, siis

\frac{30}{x-1}>\frac{30}{x}.

1. Kuna inimeste arv telgis erineb 1 võrra, siis saame võrrandi

\frac{30}{x-1}-\frac{30}{x}=1.

1. Lahendame saadud võrrandi ja kontrollime selle lahendeid ülesande teksti põhjal. Osutub, et võrrandi lahenditest 6 ja –5 sobib ülesande lahendiks 6.

Vastus. Grupp kavatses kaasa võtta 6 telki.

Näide 3.

Jüri ja Mari otsustasid koguda teatava summa raha. Kumbki neist sai iga kuu säästa vaid kindla summa. Mari suudaks vajaliku raha koguda 10 kuud lühema ajaga kui Jüri. Kui aga mõlemad koguksid koos, siis saaks nõutud raha kokku juba aasta pärast. Mitu kuud kuluks Maril selle raha kogumiseks?

1. Kulugu Maril raha kogumiseks x kuud.
2. Koondame andmed tabelisse.

1. Et ühes­koos kogudes saadakse nõutav summa kokku 12 kuuga, siis on selle ajaga kogutud osade summa 1. Seega saame võrrandi \frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1.
2. Lahendame võrrandi ja kontrollime selle lahendeid ülesande teksti põhjal. Osutub, et võrrandi lahenditest 20 ja –6 sobib ülesande lahendiks 20.

Vastus. Maril kuluks nõutava summa kogumiseks 20 kuud.

Antud näites on tegu nn koos töötamise ülesandega (koos tehakse mingit tööd või kogutakse midagi, täidetakse basseini mitme toru kaudu jne). Sellistes ülesannetes tuleb võrrandi koostamiseks määrata, kui suur osa tervikust valmib ühes ajaühikus. Näiteks, kui üks tööline teeks kogu töö valmis 5 päevaga, siis peab ta iga päev tegema \frac{1}{5} sellest tööst.