Terav­nurga siinus, koosinus ja tangens

Kursus „Trigonomeetria”
Joon. 2.2

Põhi­koolis õppisime, et täis­nurkses kolm­nurgas (joon. 2.2) leitakse nurga siinus, koosinus ja tangens järgmiselt:

sin α=ac, cos α=bc, tan α=ab.

Sõnastatult:

Täis­nurkse kolm­nurga terav­nurga siinus võrdub selle nurga vastas­kaateti ja hüpotenuusi pikkuste jagatisega.

Täis­nurkse kolm­nurga terav­nurga koosinus võrdub selle nurga lähis­kaateti ja hüpotenuusi pikkuste jagatisega.

Täis­nurkse kolm­nurga terav­nurga tangens võrdub selle nurga vastas­kaateti ja lähis­kaateti pikkuste jagatisega.

Kuna a, b ja c on täis­nurkse kolm­nurga küljed, ei ole terav­nurga siinuse, koosinuse ja tangensi definitsioonide põhjal raske veenduda, et

0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, 0 < tan α.

Näide 1.

Täis­nurkse kolm­nurga kaatet on b = 4 cm ja hüpotenuus c = 5 cm. Leiame sin α, cos α ja tan α.

Leiame kaateti a Pythagorase teoreemi abil: a2 + 42 = 52, millest

a=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3.

Vastavalt definitsioonidele on nüüd

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}=0,6, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c}=\frac{4}{5}=0,8\ ja \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b}=\frac{3}{4}=0,75.

Täis­nurkses kolm­nurgas α + β = 90°. See­tõttu öeldakse, et nurk α täiendab nurka β 90°-ni ja nurk β täiendab nurka α 90°-ni. Lühemalt öeldes on nurgad α ja 90° – α täiendus­nurgad.

Et (joon. 2.2)

\sin\mathrm{\beta}=\frac{b}{c}=\cos\mathrm{\alpha}, \cos\mathrm{\beta}=\frac{a}{c}=\sin\mathrm{\alpha}, \tan\mathrm{\beta}=\frac{b}{a}=\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{1}{\tan\mathrm{\alpha}}, siis

sin(90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sin α, tan(90°-α)=1tan α.

Neid valemeid nimetatakse täiendus­nurkade valemiteks.

Näide 2.

Lihtsustame avaldist sin 36°25' + sin 60° – tan 80° ⋅ tan 10° – cos 53°35' – cos 30°.

Et 36°25' + 53°35' = 90°, on tegemist täiendus­nurkade siinuse ja koosinusega, mis on aga võrdsed, kuid erinevate märkidega. Järelikult need koonduvad. Samal põhjusel koonduvad teine ja viies liidetav. Et ka kolmandas liidetavas on tegemist täiendus­nurkadega, annab see –tan 80° ⋅ tan 10° = -\tan80°\ ·\ \frac{1}{\tan80\degree} = –1, mis on ka kogu avaldise lihtsustamise tulemus.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

a = 12 cm, b = 16 cm.

Vastus. sin α = ; cos α = ; tan α = .

b = 24 dm, c = 25 dm.

Vastus. sin α = ; cos α = ; tan α = .

a = 4 m, c = \sqrt{17} m.

Vastus. sin α = ; cos α = ; tan α = .

a = 24 cm, b = 8 cm.

Vastus. sin α = ; cos α = ; tan α = .

Vastus. sin α = ; cos β = .

Antud nurk

Täiendusnurk

α = 30°

β = 

β = 45°

α = 

α = 60°50'

β = 

α = 56'

β = 

β = 4°25'

α = 

α = 67°28'

β = 

Vastus. tan α = ; tan (90° – α) = .

Vastus. tan (90° – α) = .

Vastus. tan 68°12' = .

Hüpotenuus on nurga α lähis­kaatetist \frac{7}{3}. Leidke cos α ja sin β täpne väärtus.

Vastus. cos α = , sin β = .

Joon. 2.3

3\tan\mathrm{\alpha}\cdot\tan\mathrm{\beta}-\sin\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\beta}-\cos\mathrm{\alpha}\cdot\sin\mathrm{\beta} = 

Seotud sisu
Muud tegevused