Nurkade 30°, 45° ja 60° siinus, koosinus ja tangens

Kursus „Trigonomeetria”
Joon. 2.4

Leiame esmalt nurkade 30° ja 60° siinuse, koosinuse ja tangensi.

Selleks lähtume võrd­külgsest kolm­nurgast ABC (joon. 2.4) külje pikkusega a. Joonestame kõrguse h. See jaotab võrd­külgse kolm­nurga kaheks võrdseks täis­nurkseks kolm­nurgaks, mille üks nurk on 30°. Kolm­nurgas ABD on AD = 0,5a ja h=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

Vastavalt terav­nurga siinuse, koosinuse ja tangensi definitsioonile on

\sin30\degree=\frac{AD}{AB}=0,5a\ :\ a=\frac{1}{2}, \cos30\degree=\frac{h}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}:\ a=\frac{\sqrt{3}}{2}, \tan30\degree=\frac{AD}{h}=\frac{0,5a}{0,5a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Et täis­nurkse kolm­nurga ABD teine terav­nurk on 60°, siis

\sin60\degree=\cos30\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos60\degree=\sin30\degree=\frac{1}{2}, \tan60\degree=\frac{1}{\tan\left(90\degree-60\degree\right)}=\frac{1}{\tan\ 30\degree}=1:\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.

Näide 1.

Leiame avaldise

\sin30^{\circ}+\cos30^{\circ}\left(\tan60^{\circ}-\tan30^{\circ}\right)

väärtuse. Kasutades siinuse, koosinuse ja tangensi väärtusi, saame, et

\sin30\degree+\cos30\degree\left(\tan60\degree-\tan30\degree\right) = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=1,5.

Joon. 2.5

Leiame nüüd nurga 45° siinuse, koosinuse ja tangensi. Võrd­haarses täis­nurkses kolm­nurgas kaatetitega a (joon. 2.5) on α = β = 45°. Hüpotenuus c=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}.

Seega on

\sin45\degree=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos45\degree=\sin\left(90\degree-45\degree\right)=\sin45\degree=\frac{\sqrt{2}}{2},
​\tan45\degree=\frac{a}{a}=1.

Kokku võetult on leitud väärtused esitatud tabelis

Näide 2.

Leiame täis­nurkse kolm­nurga nurga β, kui a = 5 m ja c = 10 m. Et sin β = b : c, siis leiame esmalt Pythagorase teoreemi põhjal kaateti b pikkuse:

b=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=\sqrt{25\ ·\ 3}=5\sqrt{3}.

Nüüd \sin\mathrm{\beta}=5\sqrt{3}\ :\ 10=\frac{\sqrt{3}}{2}, millest järeldub, et β = 60°.

Vaadates tabelis olevaid siinuse, koosinuse ja tangensi väärtusi, on näha, et nurga kasvades ka siinuse ja tangensi väärtused kasvavad, sest 1<\sqrt{2}<\sqrt{3} ja \frac{\sqrt{3}}{3}<1. Koosinuse väärtused aga kahanevad, kuna need on vastu­pidises järjestuses võrreldes siinuse väärtustega. Hiljem näeme, et nii ongi kõigi terav­nurkade korral. See tähendab, et

terav­nurga α kasvades sin α ja tan α väärtused kasvavad, aga cos α väärtused kahanevad.

Näide 3.

Kumb on suurem kas 1) sin 30° või sin 50°, 2) cos 10° või sin 60°?

  1. Et 50° > 30°, siis sin 50° > sin 30°;
  2. cos 10° = sin 80° ja 80° > 60°, siis cos 10° > sin 60°.

Nurga α siinuse, koosinuse või tangensi väärtuse järgi saab konstrueerida nurga α.

Näide 4.

Konstrueerime nurgad α ja β, kui 1) cos α = 0,375 ja 2) tan β = 1,2.

  1. Et \cos\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}=0,375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}, siis tuleb konstrueerida täis­nurkne kolm­nurk, kus nurga α lähis­kaatet on 3 ja hüpotenuus on 8 pikkus­ühikut. Selleks joonestame täis­nurga ABC (joon. 2.6) tipust B kaateti 3 ühikut ja saadud punktist A 8 ühikut, kuni lõikumiseni täis­nurga teise haaraga. Saame punkti C. Tekkinud kolm­nurga ABC nurk α ongi otsitav nurk.
Joon. 2.6
  1. Et \tan\mathrm{\beta}=\frac{b}{a}=1,2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}, siis konstrueerime täis­nurkse kolm­nurga, mille kaatetid on 6 ja 5 pikkus­ühikut. Selleks joonestame täis­nurga ja kanname selle tipust B nurga haaradele (joon. 2.7) lõigud 6 ja 5 ühikut. Nii saame punktid A ja C, mille ühendamisel tekib täis­nurkne kolm­nurk, kus nurk β asub tipu C juures.
Joon. 2.7
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

cos 30° ⋅ tan 30° – sin 30° =  = 

cos 60° ⋅ sin 30° – tan 45° =  = 

(sin 30°)2 + (cos 30°)2 =  = 

tan 30° ⋅ sin 45° =  = 

sin 60° – cos 45° : sin 45° + tan 45° + cos 30° =  = 

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2},

siis α = °;

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2},

siis α = °;

\tan\mathrm{\alpha}=\sqrt{3},

siis α = °;

\tan\mathrm{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3},

siis α = °.

a = 4, c = 8

Vastus. α =°.

b=3\sqrt{2}, c = 6

Vastus. α =°.

a=5\sqrt{3}, b = 5

Vastus. α =°.

b=5\sqrt{3}, c = 10

Vastus. α =°.

a = b = 32

Vastus. α =°.

b=\sqrt{2}, a=\sqrt{6}

Vastus. α =°.

  1. sin 80° või sin 50°
    Vastus. Suurem on , sest 
  2. cos 30° või cos 10°
    Vastus. Suurem on , sest 
  3. tan 43° või tan 80°
    Vastus. Suurem on , sest 
  1. sin 28° või cos 50°
    Vastus. Suurem on , sest 
  2. cos 1' või sin 89°
    Vastus. Suurem on , sest 
  3. cos 75° või sin 15°
    Vastus. Suurem on , sest 

Ülesanne 287.1 Nurga konstrueerimine

Konstrueerige nurk, mille korral

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{2}{3}.

Ülesanne 287.2 Nurga konstrueerimine

Konstrueerige nurk, mille korral

\cos\mathrm{\beta}=0,4.

Ülesanne 287.3 Nurga konstrueerimine

Konstrueerige nurk, mille korral

\tan\mathrm{\gamma}=4.

Ülesanne 287.4 Nurga konstrueerimine

Konstrueerige nurk, mille korral

\sin\mathrm{\delta}=0,375.

Seotud sisu
Muud tegevused