Kursus „Trigonomeetria”
Taandamisvalemiteks loeme siin valemeid, mis võimaldavad taandada
- 360°-st suuremate nurkade siinuse, koosinuse või tangensi leidmise nurkade 0° ≤ α < 360° siinuse, koosinuse või tangensi leidmisele või
- negatiivse nurga (–α) siinuse, koosinuse ja tangensi leidmise vastava positiivse nurga (α) siinuse, koosinuse või tangensi leidmisele.
Vaatleme neid valemeid.
Täispöördest suuremate nurkade valemid
Need valemid on tegelikult juba tuttavad:
sin (α + n · 360°) = sin α,
cos (α + n · 360°) = cos α,
tan (α + n · 360°) = tan α, kus n ∈ Z.
Näide 1.
Taandame tan 400° arvutamise väiksemale nurgale ja arvutame siis tangensi väärtuse.
Et tan 400° = tan (40° + 360°) = tan 40° ≈ 0,8391.
Vastus. tan 400° ≈ 0,8391
Selle näite korral oleks võinud tan 400° arvutada ka otse arvutil. Kuid näiteks sin 1662° väärtust igal taskuarvutil enam arvutada ei saa, arvuti annab liiga suure nurga tõttu veateate.
Näide 2.
Leiame sin 1662°.
Kuna 1662° = 222° + 4 · 360°, siis sin 1662° = sin (222° + 4 · 360°) = sin 222°, mis on arvutatav juba taskuarvutil. Nüüd sin 222° ≈ –0,6691.
Vastus. sin 1662° ≈ –0,6691.
Näide 3.
Leiame cos (−5015°).
Nurk −5015° = −335° − 13 · 360° = 360° − 335° − 14 · 360° = 25° − 14 · 360°.
Järelikult cos (−5015°) = cos (25° − 14 · 360°) = cos 25° ≈ 0,9063.
Arvutada oleks võinud ka teisiti.
Et −5015° = −335° − 13 · 360°, siis cos (−5015°) = cos (−335° − 13 · 360°) = cos (−335°). Sisestades taskuarvutisse negatiivse nurga –335°, saame koosinuse väärtuseks 0,9063.
Vastus. cos (−5015°) ≈ 0,9063.
Näide 4.
Leiame nurka α arvutamata cos α ja tan α, kui nurk α on teise veerandi nurk ja sin α = 0,4.
Valemist sin2 α + cos2 α = 1 saame, et cos2 α = 1 − 0,42 ehk cos2 α = 0,84.
Et teise veerandi nurga korral on koosinuse väärtus negatiivne, siis
Vastus. cos α ≈ −0,9165; tan α ≈ −0,4364.
Negatiivse nurga valemid
Valemid, mis taandavad negatiivse nurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmise vastava positiivse nurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmisele, on järgmised:
sin (–α) = –sin α, cos (–α) = cos α, tan (–α) = –tan α.
Need valemid kehtivad igasuguse nurga –α korral.
Näide 5.
Kasutades valemit tan (−α) = −tan α saame, et
tan (−78°34') = −tan 78°34' ≈ −4,945.
Näide 6.
Leiame sin (−920°).
Teeme seda mitmeti:
- sin (−920°) = −sin 920° = −sin (200° + 2 · 360°) = −sin 200° ≈ − (−0,3420) = 0,3420.
- Liidame nurgale –920° nurga 3 · 360° ehk 1080°.
Siis sin (−920°) = sin (−920° + 1080°) = sin 160° ≈ 0,3420. - Loomulikult võib sin (−920°) leida ka otse arvutilt.
