Nurga radiaan­mõõt

Kursus „Trigonomeetria”

Nurkade mõõtmisel kasutatakse kolme erinevat mõõt­ühikute süsteemi. Neist kraadi­mõõt on iga­päevaselt kõige levinum. Uus­kraadidest, mille ühik on goon, oli juttu artiklis 8.4.

Vaatleme nüüd nurga radiaan­mõõtu. Selles mõõdu­süsteemis on mõõt­ühikuks nurga­radiaan ehk radiaan, mida defineeritakse nii:

radiaan on kesk­nurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele (kaare­radiaanile).

Nurka 1 radiaan (joon. 2.38) tähistatakse 1 rad, kuid enamasti jäetakse ühiku nimetus rad kirjutamata. Seega tuleb näiteks kirjutada kas α = 2 rad või α = 2.

Joon. 2.38
Joon. 2.39

Ring­joonele mahub raadiuse pikkune kaar 2π ≈ 6,28 korda (joon. 2.39). Järelikult on täis­pööre kui nurk 2π rad. Kraadi­mõõdus on täis­pööre 360°. Seega 360° = 2π rad ehk

180° = π rad.

See seos võimaldab kraadi­mõõdus antud nurki teisendada radiaan­mõõtu ja vastu­pidi.

Näide 1.

Avaldame nurgad –192° ja 17°11' radiaan­mõõdus.

Et 180° = π rad, siis 1\degree=\frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad}. Nurk –192° on aga –192 korda suurem,

s.t. -192\degree=-192\cdot\frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad} = -\frac{16\pi}{15}\ \mathrm{rad} ≈ -3,3510\ \mathrm{rad}.

Nurga 17°11' peame esmalt esitama kraadides ja see­järel radiaanides:

17°11' = 17° + (11 : 60)° ≈ 17° + 0,1833° = 17,1833°.

17°11' ≈ 17,1833\cdot\frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad} ≈ 0,0955π rad ≈ 0,2999 rad.

Vastus. –192° = \frac{16\pi}{15}\ \mathrm{rad} ≈ –3,3510 rad; 17°11' ≈ 0,0955π rad ≈ 0,2999 rad.

Näide 2.

Avaldame nurgad \frac{\pi}{12}\ \mathrm{rad} ja 1,8 rad kraadi­mõõdus.

Seosest π rad = 180° saame, et 1\ \mathrm{rad}=\frac{180\degree}{\pi}. Järelikult

\frac{\pi}{12}\ \mathrm{rad} = \frac{\pi}{12}\cdot\frac{180\degree}{\pi} = 15°; 1,8 rad = 1,8\cdot\frac{180\degree}{\pi} ≈ 103,1324° ≈ 103°8'.

Vastus. \frac{\pi}{12}\ \mathrm{rad}=15°; 1,8 rad = 103°8'.

Seosest 180° = π rad saame, et 1 rad = 57°18'.

Ots­tarbekas on jätta meelde mõned sagedamini esinevad nurgad kraadi- ja radiaan­mõõdus arvu π kaudu.

Osal tasku­arvuteil on klahv α° → rad või DEG → RAD või D.R.G või D.R.G > kraadi­mõõdus antud nurga teisendamiseks radiaan­mõõtu (kahe viimase klahvi korral edasi ka uus­kraadideks ja siis jälle kraadideks). Radiaanides antud nurga teisendamiseks kraadi­mõõtu on klahvid rad → α° või RAD → DEG.

Nurga siinust, koosinust ja tangensit saab leida radiaan­mõõdus antud nurkade korral järgmiselt. Tasku­arvuti tuleb esmalt viia radiaan­mõõdus töötamise režiimile. Selleks on klahv, millel on R või RAD. Sama lühend on tavaliselt näha ka tablool. Klahvi DRG olemas­olu korral jõutakse kraadi­mõõdu režiimilt radiaan­mõõdu režiimile sellele klahvile vajutamisel. Arvuti režiimi muutmise klahvi MODE tuleb aga üld­juhul kasutada koos mõne hoopis teise klahviga. Näiteks annavad osa arvuteid vajutustel MODE 5 radiaan­mõõdu režiimi.

Kui arvuti on viidud radiaanides arvutamise režiimile, on vaja sisestada radiaanides antud nurk tavalise arvuna ja vajutada klahvile sin, cos või tan.

Näide 3.

Leiame sin 2,6 ja \cos\frac{\pi}{7}.

Lülitanud tasku­arvuti radiaanides töötamise režiimile, toimime järgmiselt:

2,6 sin   ja   π ÷ 7 = cos.

Vastus. sin 2,6 ≈ 0,5155; \cos\frac{\pi}{7}\approx0,9010.

Osal uuematest tasku­arvutitest tuleb klahvidele vajutada selles järje­korras, millises kirjutame vastavat avaldist paberile. Sellisel juhul tuleb näiteks sin α arvutada skeemi järgi sin α ENTER (või =).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

36° ≈  rad

36°10' ≈  rad

–66°12' ≈  rad

66° ≈  rad

79°48' ≈  rad

–75° ≈  rad

8,5° ≈  rad

226°19' ≈  rad

0° =  rad

30° =  rad

45° =  rad

60° =  rad

90° =  rad

180° =  rad

270° =  rad

360° =  rad

–30° =  rad

–45° =  rad

12° = 

75° = 

135° = 

–46° = 

–42,5° = 

40° = 

28° = 

240° = 

–98° = 

93,06° = 

2\pi= 

\frac{\pi}{4}= 

\frac{3\pi}{2}= 

\frac{\pi}{6}= 

\frac{\pi}{2}= 

\frac{\pi}{5}= 

\frac{\pi}{3}= 

\frac{2\pi}{3}= 

\frac{3\pi}{4}= 

\frac{2\pi}{15}= 

-\frac{3\pi}{5}= 

-\frac{\pi}{100}= 

-\frac{\pi}{6}= 

-\frac{7\pi}{36}= 

-\frac{\pi}{3}= 

\frac{10\pi}{3}= 

2,01 = 

0,08 = 

–3,14 = 

0,75 = 

1,58 = 

–6,4 = 

\sin\frac{\pi}{6} = 

\cos\frac{\pi}{3} = 

\tan\frac{\pi}{4} = 

\sin\pi = 

\sin\frac{\pi}{10} = 

\cos\frac{2\pi}{9} = 

\tan\frac{2\pi}{5} = 

\cos\frac{4\pi}{15} = 

\sin1,5 = 

\cos0,01 = 

\tan0,4 = 

\tan1,3 = 

\sin1,21 = 

\cos1,65 = 

\tan0,08 = 

\sin3,15 = 

\left(\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{2}+\tan\frac{\pi}{4}\right):\left(\sin\frac{\pi}{2}+2\sin\frac{\pi}{6}\right)=  ≈ 

\sin\frac{\pi}{4}\cdot\left(\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{6}\right):\left(\tan\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{6}\right)=  ≈ 

\sin^2\frac{\pi}{25}+\cos^2\frac{\pi}{25}=  = 

\cos\frac{2\pi}{15}\left(1+\tan\frac{2\pi}{15}\right)=  ≈ 

\sin\frac{\pi}{8}:\cos\frac{\pi}{8}=  ≈ 

\cos^2\frac{8\pi}{30}\left(1+\tan^2\frac{4\pi}{15}\right)=  = 

sin2 0,82 + 2,3 + cos2 0,82 =  = 

sin 0,3 tan 0,3 + cos 0,3 =  = 

sin2 1,4(1 + tan2 1,4) =  = 

(1 + tan2 0,9)cos 0,9 =  = 

4° = 

14°18' = 

25°37' = 

–50°42' = 

80° = 

76°6' = 

48°15' = 

–22°32' = 

1' = 

25' = 

0,192 = 

0,5009 = 

4 = 

0,4108 = 

1,479 = 

7,56 = 

–1,3012 = 

–0,7777 = 

–16,07 = 

Vastus. Selle kolm­nurga kolmas nurk on  rad.

Vastus. Selle kolm­nurga nurgad on vastavalt  rad,  rad ja  rad.

\sin\frac{2\pi}{3} =  ≈ 

\cos\frac{3\pi}{4} =  ≈ 

\tan\frac{5\pi}{6} =  ≈ 

\tan\frac{11\pi}{12} ≈ 

\sin\frac{7\pi}{12} ≈ 

\cos\frac{3\pi}{5} ≈ 

\cos\frac{13\pi}{18} ≈ 

\tan\frac{23\pi}{24} ≈ 

\sin\frac{27\pi}{32} ≈ 

\sin\frac{7\pi}{3} =  ≈ 

\cos\frac{25\pi}{6} =  ≈ 

\tan\frac{25\pi}{4} = 

sin α = 0,9854
α =  rad

cos α = 0,5487
α =  rad

tan α = −0,7854
α =  rad

sin α = –0,9975
α =  rad

cos α = 0,5403
α =  rad

tan α = 5
α =  rad

a = 12, b = 5

Vastus. α =  rad, β =  rad, γ =  rad.

a = 12, c = 15

Vastus. α =  rad, β =  rad, γ =  rad.

b = 7, c=\sqrt{58}

Vastus. α =  rad, β =  rad, γ =  rad.

a = b = 6

Vastus. α =  rad, β =  rad, γ =  rad.

Seotud sisu
Muud tegevused