Kursus „Trigonomeetria”
Nagu teame, leidub iga reaalarvu x (nurk x radiaanides) korral ainult üks sin x väärtus. Tähistame selle tähega y, s.t y = sin x. Vaadeldes suurust x muutujana, seab võrdus y = sin x igale reaalarvule x (abstsiss) vastavusse reaalarvu y (ordinaat). See tähendab aga, et võrdus y = sin x defineerib funktsiooni, mida nimetatakse siinusfunktsiooniks.
Vaatleme siinusfunktsiooni graafikut. Et sin (x + n · 2π) = sin x, kus n ∈ Z. siis järelikult korduvad siinusfunktsiooni väärtused iga 2π järel. Seetõttu võib y = sin x graafiku konstrueerida näiteks lõigul [0; 2π] ning seejärel jätkata graafiku joonestamist samal viisil nii paremale kui ka vasakule, s.t kogu arvtelje ulatuses.
Piirkonnas [0; 2π] saab funktsiooni y = sin x graafiku konstrueerida tema üksikute punktide järgi, kasutades arvutamiseks näiteks taskuarvutit. Lihtsam on muidugi lasta graafik konstrueerida laua- või nn graafilisel taskuarvutil. Tulemusena saame y = sin x graafiku (joon. 2.40), mida nimetatakse sinusoidiks.
Kuna siinusfunktsiooni väärtused korduvad iga 2π järel, siis öeldakse, et
siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2π.
Loeme siinusfunktsiooni graafikult välja mõned selle funktsiooni omadused.
- Siinusfunktsiooni vähim väärtus on −1 ja suurim väärtus 1, s.t −1 ≤ sin x ≤ 1. Need väärtused korduvad iga 2π järel nii x-telje positiivses kui ka negatiivses suunas, alates näiteks argumendi väärtusest
-\frac{\pi}{2} või\frac{\pi}{2} . - Siinusfunktsiooni graafik lõikab x-telge iga π järel alates argumendi väärtusest x = 0. Teisiti öeldes on siinusfunktsiooni nullkohad x = nπ, kus n ∈ Z. Nendes kohtades on y = 0 ehk sin x = 0.
Siinusfunktsiooni graafiku abil on võimalik lahendada mitmesuguseid ülesandeid, mida varem lahendasime arvutuslikul teel.
Näide 1.
Kas siinusfunktsiooni väärtus 1) sin 3, 2)
- Kuna 0 < 3 < π ja graafik asub selles piirkonnas ülalpool x-telge, s.t y > 0, on ka sin 3 > 0;
\sin\frac{6\pi}{5}<0 , sest nurk\frac{6\pi}{5} kuulub piirkonda [π; 2π], kus y = sin x graafik on allpool x-telge, s.t y < 0;- sin (−0,8) < 0, sest nurk −0,8 kuulub piirkonda [−π; 0], kus funktsiooni y väärtused on negatiivsed.
Näide 2.
Kumb on suurem, kas 1) sin (−1,2π) või sin 6? 2) sin 0,8 või sin 1,3?
- sin (−1,2π) > sin 6, sest siinusfunktsiooni graafikult on näha, et sin (−1,2π) > 0, aga sin 6 < 0;
- sin 1,3 > sin 0,8, sest siinusfunktsiooni graafiku punkt, mis vastab x = 1,3 väärtusele, asub kõrgemal (funktsiooni väärtus on suurem) kui graafiku punkt, mis vastab x = 0,8 väärtusele.
Ülesanded
sin 1 0
sin (–6) 0
sin 4 0
sin 0 0
sin 6 või sin 7 | Väiksem on väärtus. |
sin (–1,5π) või sin (–1,9π) | Väiksem on väärtus. |
sin 3 või sin 4 | Väiksem on väärtus. |
