Funktsioon y = tan x

Kursus „Trigonomeetria”

Tangens­funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = tan x, kus x on reaal­arv (nurk radiaanides), kuid x\ne\left(2n+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}, kus n ∈ Z. Kitsendus x\ne\left(2n+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}, n ∈ Z on tingitud sellest, et nendel kohtadel tangensil väärtus puudub. Järelikult tangens­funktsiooni graafik (joon 2.42) katkeb argumendi x väärtustel

…, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, …

Varasemast teame seost tan (x + n ⋅ π) = tan x, kus nurk x on radiaanides. Sellest järeldub, et tangens­funktsiooni väärtused korduvad iga π järel. Seega

tangens­funktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga π.

Joon. 2.42

Eelöeldut arvestades võime konstrueerida tangens­funktsiooni graafiku perioodi π ulatuses, näiteks vahemikus \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right), ning see­järel kogu meid huvitavas piir­konnas. Tulemuseks saame tangensoidi, mis on joonisel 2.42. Tangensoidi oma­päraks on, et kui argumendi x väärtused lähenevad väärtustele \left(2n+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}, n ∈ Z, lähenevad graafiku harud tõkestamatult y-teljega paralleelsetele sirgetele (joonisel punktiirid), neid kunagi lõikamata.

Tangens­funktsiooni omadusi:

  1. Tangens­funktsioonil puudub vähim ja suurim väärtus, s.t tangens­funktsioon saab kõik­võimalikke reaal­arvulisi väärtusi. Sümbolites: −∞ < tan x < +∞.
  2. Tangens­funktsiooni null­kohad (tan x = 0) korduvad iga π järel ja esituvad kujul x = nπ, n ∈ Z.

Näide 1.

Selgitame, mis märgiga on tan (−4,05).

Argumendi väärtus x = –4,05 kuulub vahemikku \left(-\frac{3\pi}{2};\ -\pi\right), kus tan x väärtused on negatiivsed (graafik on all­pool x-telge). Järelikult tan (−4,05) < 0.

Näide 2.

Võrdleme tan 3 ja tan 4 väärtusi.

Et argumendi väärtusele x = 3 vastav punkt graafikul on madalamal kui väärtusele x = 4 vastav punkt, siis tan 3 < tan 4.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

\tan\frac{2\pi}{9} = 

\tan\frac{\pi}{2} = 

\tan\frac{\pi}{10} = 

\tan\left(-\frac{113\pi}{14}\right) = 

\tan2,04= 

\tan\left(-3\right) = 

\tan0,43 = 

\tan0,02 = 

Kui x = 5, siis
tan x  0.

Kui x = –1,8, siis
tan x  0.

Kui x = 7, siis
tan x  0.

Kui x = 4π, siis
tan x  0.

Kui x = 1,3π, siis
tan x  0.

Kui x = –3,07, siis
tan x  0.

Kui x = 2, siis
tan x  0.

Kui x = –1,4π, siis
tan x  0.

tan 1,3 või tan 0,125π

Väiksem on  väärtus.

tan (–4) või tan 1

Väiksem on  väärtus.

Seotud sisu
Muud tegevused