Ring­joone kaare pikkus

Kursus „Trigonomeetria”

Vaatleme ring­joone kaare AB pikkuse arvutamist (joon. 2.43), kui vastav kesk­nurk kraadides on α ja ring­joone raadius on r.

Joon. 2.43

Et ring­joone pikkus on 2πr ja täis­pööre on 360°, siis kesk­nurgale 1° vastab kaar pikkusega \frac{2\pi r}{360} ehk \frac{\pi r}{180}. Järelikult kesk­nurga α korral on vastav kaar AB α korda pikem, s.t AB=\mathrm{\alpha}\cdot\frac{\pi r}{180}=\frac{\mathrm{\alpha}\pi r}{180}.

Näide 1.

Joonisel 2.44 on kujutatud rihm­ülekanne. Veo­rihm katab suuremast rattast kaare AB, millele vastav kesk­nurk α = 200°. Leiame kaare AB pikkuse, kui ratta raadius R = 45 cm.

Joon. 2.44

Arutleme nagu ees­pool. Suurema ratta ümber­mõõt C = 2 ⋅ π ⋅ 45 = 90π (cm). Et täis­pöördes on 360°, siis kesk­nurgale 1° vastab kaar \frac{90\pi}{360}=\frac{\pi}{4}\mathrm{\ \left(cm\right)} ja kesk­nurgale 200° vastab 200 korda suurem kaar, s.t kaar

AB=200\cdot\frac{\pi}{4}=50\pi\approx157,1\ \mathrm{\left(cm\right)}.

Vastus. Veorihm katab suuremat rihma­ratast AB ≈ 157,1 cm ulatuses.

Vaatleme nüüd kaare pikkuse arvutamist juhul, kui vastav kesk­nurk x on antud radiaanides.

Olgu endiselt vaadeldava kaare l = AB raadius r, aga kaarele vastav kesk­nurk x radiaani. Et kesk­nurgale 1 rad vastab kaare pikkus r (joon. 2.38), siis kesk­nurgale x rad vastab x korda pikem kaar xr.

Järelikult on ring­joone kaare pikkus

l = xr .

Näide 2.

Kui ring­joone raadius on 5 cm ja kaarele vastav kesk­nurk on 2,8 rad, siis selle kaare pikkus

l = 2,8 · 5 = 14 (cm).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Kesk­nurk

Kesknurgale vastava kaare pikkus

Viljandi raekoja kell

Londoni Big Ben

1°

 cm

 cm

1'

 mm

 cm

Kesknurk

Kaare pikkus

46°

 cm

105°

 cm

54°12'

 cm

270°

 cm

30'

 cm

315°

 cm

Raadius

4 cm

50 m

40 cm

100 m

90 m

Kaare pikkus

 cm

 m

 cm

 m

 m

Vastus. Kanteri ketta­heite tulemus oli  m.

α = 2°

α = 1°

α = 1'

α = 0,1 rad

α = 0,001π rad

 m kauguselt

 m kauguselt

 m kauguselt

 cm kauguselt

 m kauguselt

Kesknurk

1°

1'

Kuu poolt läbitud tee pikkus

 km

 km

Võrrelge kesk­nurgale 1° vastava kaare pikkust Kuu läbi­mõõduga 3476 km.

Joon. 2.45

Vastus. Suurim vahe­maa Maal, mida kosmonaut Juri Gagarin nägi oli  km.

Joon. 2.46

Vastus. Uus tee on endisest teest  m võrra lühem.

Seotud sisu
Muud tegevused