Sektori pindala

Kursus „Trigonomeetria”

Teatavasti nimetatakse ringi sektoriks ehk lihtsamalt sektoriks ringi osa, mida piiravad selle ringi kaks raadiust. Joonisel 2.47 on kujutatud kaks sektorit OAB – ühel kaar AB pideva joonega, teisel punktiiriga kaar AB. Seame eesmärgiks leida sektori pindala tema raadiuse ja kesknurga, nn sektori nurga järgi.

Joon. 2.47

Olgu sektori raadius r ja nurk α kraadi. Et ringi pindala on πr², siis 1°-se sektori pindala on \frac{\pi r^2}{360} ja kui sektori nurk on α kraadi, siis selle sektori pindala on α korda suurem, s.t sektori pindala S=\frac{\mathrm{\alpha}\pi r^2}{360}.

Näide 1. Leiame sektori pindala, kui raadius r = 8 cm ja nurk α = 65°15'.Avaldame antud nurga kraadides: 65°15' = 65,25°. Et täispööre on 360°, siis 1°-se sektori pindala S1 on 360 korda väiksem ringi pindalast:S_1=\frac{\pi r^2}{360}=\frac{64\pi}{360}=\frac{8\pi}{45}\ \left(\mathrm{cm^2}\right).Kuna antud sektori nurk on 65,25°, siis otsitav pindalaS = 65,25 · S₁ = 65,25\cdot\frac{8\pi}{45} = 11,6π ≈ 36,4 (cm²).

Tuletame valemi arvutamiseks, kui sektori nurk on x radiaani ja raadius on r.Et täispöördes on 2π radiaani, siis üheradiaanise nurgaga sektori pindala S_1=\frac{\pi r^2}{2\pi}=\frac{r^2}{2}. Et antud sektori nurk on x rad, siis sektori pindala S=x\cdot S_1=x\cdot\frac{r^2}{2}, s.t

$S = \frac{x r^{2}}{2}$ .

Näide 2.

Kui sektori nurk x = 0,8 rad ja raadius r = 5 cm, siis

S=\frac{xr^2}{2}=\frac{0,8\cdot25}{2}=10\ \left(\mathrm{cm^2}\right).

Sektori pindala võib avaldada ka kaare pikkuse kaudu: S=\frac{xr^2}{2}=\frac{\left(xr\right)r}{2}=\frac{lr}{2}

$S = \frac{r l}{2}$ .

Näide 3.

Kui sektori raadius on 8 cm ja kaare pikkus 10 cm, siis

S=\frac{8\cdot10}{2}=40\ \left(\mathrm{\mathrm{cm^2}}\right).

Seotud sisu