Siinus­teoreem

Kursus „Trigonomeetria”

Nagu teame, tähendab kolm­nurga lahendamine tema puuduvate elementide (külgede ja nurkade) leidmist.

Üks moodus seda teha on kolm­nurga tükeldamine kõrguse abil kaheks täis­nurkseks kolm­nurgaks ja siis nendest esi­algse kolm­nurga vajalike elementide leidmine. See lahendus­käik osutub aga sageli pikaks.

Joon. 2.50

Teine võimalus on lahendada suvalisi kolm­nurki lühemalt, aga selleks peab tundma paari teoreemi. Neist üks on siinus­teoreem (joon. 2.50):

kolm­nurga küljed on võrdelised vastas­nurkade siinustega;

asin α=bsin β=csin γ.

Selle teoreemi võtame teadmiseks ilma tõestuseta.

Näide 1.

Lahendame kolm­nurga, kui a = 20 cm, α = 30° ja β = 78°.

Leiame:

  1. siinusteoreemi abil külje b,

​\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒ \frac{20}{\sin30\degree}=\frac{b}{\sin78\degree} ⇒ b=\frac{20\cdot\sin78\degree}{\sin30\degree}\approx\frac{20\cdot0,9781}{0,5}\approx39,1\ \left(\mathrm{\mathrm{cm}}\right);

  1. puuduv nurk γ=180°-(α+β)=180°-(30°+78°)=72°;
  2. külje c saame nüüd siinus­teoreemi abil:

\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{c}{\sin\mathrm{\gamma}} ⇒ \frac{20}{\sin30\degree}=\frac{c}{\sin72\degree} ⇒ c=\frac{20\cdot\sin72\degree}{\sin30\degree}\approx\frac{20\cdot0,9511}{0,5}\approx38,0\ \left(\mathrm{cm}\right);

Vastus. b ≈ 39,1 cm; c ≈ 38,0 cm; γ = 72°.

Näide 2.

Vee­kogu laiuse (joon. 2.51) mõõtmiseks kohal AB märgitakse kaldale nn baas. Olgu see BC = 100 m. See­järel mõõdetakse nurgad γ ja β.

Arvutame vee­kogu laiuse AB = x, kui γ = 81° ja β = 89°.

Joon. 2.51

Leiame suuruse x:

  1. α = 180° – (β + γ) = 180° – (89° + 81°) = 10°;
  2. \frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{x}{\sin\mathrm{\gamma}} ⇒ \frac{100}{\sin10\degree}=\frac{x}{\sin81\degree} ⇒ x=\frac{100\cdot\sin81\degree}{\sin10\degree} = \frac{100\cdot0,9877}{0,1736}\approx568,95\approx570\ \mathrm{\left(m\right)}.

Vastus. Veekogu laius on 570 m.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

a = 87, α = 65°, β = 75°

Vastus. γ = ; b = ; c = .

c = 30, α = 51°30', γ = 65°30'

Vastus. β = ; a = ; b = .

b = 120, α = 10°, β = 126°

Vastus. γ = ; a = ; c = .

a = 80, b = 65, α = 40°

Vastus. c = ; β = ; γ = .

a = 9, b = 9, β = 37°18'

Vastus. α = ; γ = ; c = .

b = 60, α = 70°24', γ = 63°

Vastus. β = ; a = ; c = .

c = 100, α = 27°, β = 83°12'

Vastus. γ = ; a = ; b = .

Vastus. Vastavad nurgad on α = , β =  ja γ =  ning teised küljed on a =  cm ja b =  cm.

Seotud sisu
Muud tegevused