Koosinus­teoreem

Kursus „Trigonomeetria”

Kui kolm­nurga kaks külge ja nurk nende vahel on antud, siis kolm­nurk on määratud, s.t seda kolm­nurka on võimalik konstrueerida. Nende andmete korral ei ole aga siinus­teoreemi abil võimalik selle kolm­nurga puuduvaid elemente leida. Nüüd tuleb kasutada koosinus­teoreemi (joon. 2.50):

kolm­nurga ühe külje ruut on võrdne üle­jäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nende­vahelise nurga koosinuse kahe­kordne korrutis, s.t

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α,

b2 = a2 + c2 – 2ac cos β,

c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ.

Joon. 2.50

Võtame ka selle teoreemi teadmiseks ilma tõestamiseta.

Näide 1.

Lahendame kolmnurga, kui b = 4 cm, c = 15 cm ja α = 57°.

  1. Leiame külje a:
    a^2=b^2+c^2-2bc\cos\mathrm{\alpha} = 4^2+15^2-2\cdot4\cdot15\cdot\cos57° ≈ 175,6433, millest a ≈ 13,2530 (cm).
  2. Edasi kasutame nurga β leidmiseks siinus­teoreemi:
    ​\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒ \frac{13,253}{\sin57\degree}=\frac{4}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒ \sin\mathrm{\beta}=\frac{4\cdot\sin57\degree}{13,253}\approx0,2531, millest β ≈ 14°40';
  3. Nurk \mathrm{\gamma}=180°-(57°+14°40')=108°20'.

​Vastus. a ≈ 13,3 cm, β ≈ 14°40', γ ≈ 108°20'.

Kui kolm­nurga lahendamisel on tarvis leida kaks nurka, nagu see oli viimases näites, tuleks esmalt arvutada just väiksem nurk (eelmises näites nurk β, mis vastab lühemale küljele) ja seejärel 180°-st lahutamise teel kolmas nurk (näites nurk γ), sest viimane võib olla nüri­nurk. Nüri­nurga leidmine on just nii kõige lihtsam. See kehtib ka siis, kui on antud kolm külge.

Näide 2.

Lahendame kolm­nurga, kui küljed on a = 8 cm, b = 10 cm, c = 16 cm.

Arvestades ees­pool antud soovitust, leiame esmalt väiksemad nurgad, s.o nurgad α ja β.

  1. Seosest a2 = b2 + c2 – 2bc cos α saame, et 2bc cos α = b2 + c2 – a2, millest oma­korda
    \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{10^2+16^2-8^2}{2\cdot10\cdot16}=0,9125 ⇒ \mathrm{\alpha}\approx24°9'.​
  2. Nurga β leiame siinus­teoreemi abil:
    ​\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒ \sin\mathrm{\beta}=\frac{10\cdot\sin24°9'}{8}\approx\frac{10\cdot0,4091}{8}\approx0,5114 ⇒ ​\mathrm{\beta}\approx30°45'​.
  3. \mathrm{\gamma}=180°-(24°9'+30°45')=125°6'.

Vastus. α ≈ 24°9', β ≈ 30°45', γ ≈ 125°6'.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

c = 18, b = 10, α = 60°

Vastus. a = ; β = ; γ = .

a = 2, b = 3, γ = 14°30'

Vastus. c = ; β = ; α = .

a = 3, c = 5, β = 53°8'

Vastus. b = ; α = ; γ = .

a = 10, b = 20, γ = 98°6'

Vastus. c = ; α = ; β = .

a = 13, b = 20, c = 15

Vastus. α = ; β = ; γ = .

a = 4, b = 5, c = 3

Vastus. α = ; β = ; γ = .

a = 12, b = 29, c = 16

Vastus. .

a = 0,24, b = 1,2, c = 0,98

Vastus. α = ; β = ; γ = .

Vastus. Rööp­küliku diagonaalid on  cm ja  cm.

Joon. 2.52

Vastus. Küla A kaugus bussi­peatusest on  m.

Seotud sisu
Muud tegevused