Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”
Понятие числа начало формироваться тысячи лет назад, совершенствуясь и обогащаясь вместе с развитием человеческой цивилизации. Уже в древнем обществе начали сравнивать множества, что стало возможным посредством счета элементов этих множеств. Так возникло первое из изученных нами в школьном курсе числовых множеств – множество N натуральных чисел:
N = {0; 1; 2; 3; ...}.
Поскольку число 0 не так естественно возникает при счете предметов, то неудивительно, что это число было введено в употребление значительно позднее. Только в VII веке индийскими математиками были сформулированы правила пользования числом 0.
Нами изучены четыре основных действия с натуральными числами. Это сложение и умножение, а также обратные к ним действия – вычитание и деление.
№ | a | b | a + b | a · b | a – b | a : b |
1. | 3 | 7 | 10 | 21 | –4 | |
2. | ||||||
3. | ||||||
4. | ||||||
5. | ||||||
6. |
Для каких действий результатом действия всегда будет натуральное число?
- для сложения
- для умножения
- для вычитания
- для деления
В предыдущем задании разность 3 – 7 не является натуральным числом. Зная только натуральные числа, нельзя выполнить вычитание во всех случаях. Значит необходимо дополнить множество натуральных чисел такими числами, которые позволяли бы всегда выполнять вычитание. Это становится возможным, если ввести в употребление числа, противоположные натуральным.
Для натурального числа n противоположное число –n мы определяем так:
n + (–n) = 0.
Натуральные числа вместе с противоположными им числами образуют множество Z целых чисел:
Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...}.
Отдельно рассматривают также множество Z+ положительных целых чисел Z+ = {1; 2; 3; ...} и множество Z– отрицательных целых чисел Z– = {...; –3; –2; –1}.
Таким образом,
Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ и N ⊂ Z (рис. 1.4).
 Рис. 1.4 | ||||||
Так как для всякого целого числа существует противоположное ему число, то действие вычитания на множестве целых чисел всегда выполнимо – разность любых двух целых чисел всегда является целым числом.
Nr. | a | b | a + b | a · b | a – b | a : b |
1. | 3 | 7 | 10 | 21 | –4 | |
2. | ||||||
3. | ||||||
4. | ||||||
5. | ||||||
6. |
Для каких действий всегда можно утверждать, что результатом будет целое число?
- для деления
- для умножения
- для вычитаия
- для деления
Из только что решенного задания вытекает, что частное от деления целых чисел не обязательно целое число. Если число a делится на число b (b ≠ 0), то частное является целым числом, в противном же случае оно оказывается дробным числом
Дополнив множество целых чисел дробными числами, мы получим новое числовое множество, в котором всегда выполнимо и действие деления (кроме деления на нуль). Все целые числа, а также все положительные и отрицательные дробные числа вместе образуют множество Q рациональных чисел (рис. 1.5).
Рис. 1.5
|
||||||
Поскольку всякое целое число можно представить в виде частного
рациональным числом называется всякое число, которое можно представить в виде дроби , где , и .
- не являются целыми числами;
- не являются положительными целыми числами;
- являются рациональными числами;
- являются целыми числами.
- Разность любых двух натуральных чисел является натуральным числом.
- Сумма любых двух натуральных чисел является натуральным числом.
- Частное от деления любых двух натуральных чисел является натуральным числом.
- Разность любых двух целых чисел является целым числом.
- Частное от деления любых двух целых чисел (за исключением деления на 0) является целым числом.
- Произведение любых двух целых чисел является целым числом.
- Частное от деления любых двух рациональных чисел (за исключением деления на 0) является рациональным числом.
- Произведение любых двух рациональных чисел является рациональным числом.
- Всякое натуральное число является целым числом.
- Всякое рациональное число является целым числом.
- Ни одно целое число не является рациональным числом.
- Любое натуральное число положительно.
- Существуют рациональные числа, не являющиеся целыми числами.
- Существуют натуральные числа, не являющиеся рациональными числами.
- Существуют целые числа, являющиеся натуральными числами.
- Существует натуральное число, не являющееся положительным.
- Всякая обыкновенная дробь является целым числом.
- Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.
