Рациональные числа и десятичные дроби

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

При изучении дробей мы уже пользовались понятием десятичной дроби. Десятичная дробь – это дробь, которая записывается при помощи запятой, где первая цифра после запятой означает число десятых, вторая цифра – число сотых и т. д.: 3,75=3+\frac{7}{10}+\frac{5}{100}. Одно и то же число может быть представлено несколькими различными способами:

1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=1,5.

Рассмотрим теперь, как представить рациональное число \frac{a}{b} в виде десятичной дроби и наоборот, десятичную дробь в виде обыкновенной дроби \frac{a}{b}.

Всякое рациональное число $$ \frac{\mathit{a}}{\mathit{b}}$$ можно представить в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель.

При этом возникают две различные возможности:

1. в первом случае получается конечная десятичная дробь:
   ​например, $$ \frac{8}{4}=2$$ или $$ \frac{51}{40}=\mathrm{1,275}$$.

1. во втором случае получающиеся при делении остатки начинают с некоторого момента повторяться, и возникает бесконечная периодическая десятичная дробь:

$$ \frac{17}{6}=17:6=\mathrm{2,833}\dots =\mathrm{2,8}\left(3\right)$$.

Поскольку всякая конечная десятичная дробь может быть записана в виде бесконечной и периодической десятичной дроби (1,275 = 1,27500… = 1,275(0)), то можно сказать, что:

Имеет место и обратное утверждение:

В случае целого числа и конечной десятичной дроби мы уже умеем находить такие представления.

Например:

$$ -5=\frac{-10}{2}=\frac{15}{-3}=\dots $$ и $$ \mathrm{0,35}=\frac{3}{10}+\frac{5}{100}=\frac{35}{100}$$.

Рассмотрим теперь, как записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде $$ \frac{a}{b}$$, где a и b – целые числа.