Понятие действительного числа

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

Может показаться, что рациональные числа полностью покрывают числовую прямую, не оставляя ни одной «дырки». Но это не так. На числовой прямой по-прежнему остаются такие точки, для которых мы не можем назвать соответствующее число. Одним из таких чисел является длина диагонали единичного квадрата.

Разрезав квадрат, площадь которого равна 1 квадратной единице (кв. ед.), вдоль его диагонали, мы получим два равных треугольника площадью 0,5 кв. ед. Можно ли из четырех таких треугольников составить квадрат с площадью 2 кв. ед.?

При решении предложенной задачи у нас возникают следующие вопросы.

  1. Какому уравнению удовлетворяет длина стороны х искомого квадрата?
  2. Числом какого рода выражается длина стороны этого квадрата?
  3. Может ли это число быть каким-либо нецелым рациональным числом, т. е. некоторой несократимой дробью \frac{a}{b}, где a и b ∈ Z, b\ne0 и b\ne1?

Докажем, что искомое число не является рациональным числом.

ТЕОРЕМА. Не существует рационального числа, квадрат которого был бы равен 2.

Доказательство

Будем доказывать от противного. Предположим, что такое число все же существует, и обозначим его символом 2. Из предыдущих рассуждений следует, что 2  не может быть целым числом. Следовательно, оно может быть только некоторой несократимой дробью ab, где числа a и b взаимно просты (в случае необходимости всегда можно сделать эту дробь несократимой). Поэтому

2=ab, или 2=ab2=ab·ab=a · ab · b.

Поскольку числа a и b взаимно просты (т. е. у них нет общих простых делителей) и возведение числа в квадрат не добавляет новых (отличных от прежних) простых делителей, то и дробь a · ab · b является несократимой и, значит, не может быть равной числу 2. Мы получили противоречие с предположением о несократимости дроби a b MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLMBP9 MBGaLCVbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfga saacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8 WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0d meaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaWcaaqaaKqzGfGaam yyaaGcbaqcLbwacaWGIbaaaaaa@37AA@ , стало быть, к противоречию приводит предположение о том, что число 2 является рациональным.

Таким образом, кроме изученных нами рациональных чисел, должны существовать еще и другие числа. Такие числа называются иррациональными числами.

Расположение иррационального числа \sqrt{2} на числовой оси характеризуется следующими неравенствами:

1<\sqrt{2}<2

1,4<\sqrt{2}<1,5

1,41<\sqrt{2}<1,42

\left(1^2=1;\ 2^2=4\right);

\left(1,4^2=1,96;\ 1,5^2=2,25\right);

\left(1,41^2=1,9881;\ 1,42^2=2,016\right);

Более точные вычисления показывают, что

\sqrt{2}=1,414213562373...

Так как число \sqrt{2} не является рациональным, то оно не является и бесконечной периодической десятичной дробью. Это число выражается бесконечной непериодической десятичной дробью.

Иррациональным числом называется число, выражающееся бесконечной непериодической десятичной дробью.

Для всякого иррационального числа существует противоположное ему число. Взаимно противоположные числа расположены на числовой оси симметрично относительно начала координат. Множество иррациональных чисел обозначается буквой I. Этому множеству принадлежат, например, числа\sqrt{2}; \sqrt{3}; -\sqrt{7}; π и т. п.

Замечание

При вычислениях с иррациональными числами ограничиваются их приближенными значениями, или приближениями. Например, округление до сотых дает π≈3,14; 2≈1,41 и 3≈1,73. Если же числа записаны в виде π, 2 или 3, то говорят, что дано точное значение иррационального числа. Точное значение иррационального числа может быть записано и в виде выражения, содержащего знаки корней:

35; 5-2, π-1 и т. п.

Дополнив множество рациональных чисел всеми иррациональными числами, мы получаем множество R действительных (или вещественных) чисел:

R = I ∪ Q и Q ⊂ R.

Поскольку всякое рациональное число выражается бесконечной периодической десятичной дробью, а иррациональное число – бесконечной непериодической десятичной дробью, то мы можем сказать, что

всякое действительное число выражается бесконечной десятичной дробью.

Последовательное расширение числовых множеств показано на рисунке 1.6.

Рис. 1.6.

Найдите с помощью калькулятора промежутки длиной в 1; 0,1 и 0,01 единицы, в которых расположено число \sqrt{3}.

Точное значение

Округленное до десятых

Округленное до сотых

Округленное до тысячных

\sqrt{3}

  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • Все натуральные числа являются действительными числами.
  • Все целые числа являются натуральными числами.
  • Наименьшим натуральным числом в этом учебнике считается 0.
  • Некоторые целые числа являются натуральными числами.
  • Ни одно рациональное число не является целым числом.
  • Ни одно иррациональное число не является целым числом.
  • Все иррациональные числа являются действительными числами.
  • Некоторые действительные числа являются целыми числами.
  • Не существует наибольшего и наименьшего действительных чисел.
  • Некоторые рациональные числа являются целыми числами.
  • Все рациональные числа являются действительными числами.
  • Между двумя любыми целыми числами всегда найдется еще целое число.
  • Ни одно натуральное число не является целым числом.
  • Между двумя любыми рациональными числами всегда найдутся еще рациональные числа.

Найдите с помощью калькулятора промежутки длиной в 1 и 0,1 единицы, в которых расположено среднее арифметическое чисел \sqrt{2}, 2\sqrt{3} и 3\sqrt{2}.

Ответ: среднее арифметическое этих чисел, округленное до десятых, есть , а округленное до сотых –  .

  1. 10 шаров одного цвета;
    Ответ: нужно вынуть не менее  шаров.
  2. по меньшей мере, один красный, один зеленый и один желтый шар?
    Ответ: нужно вынуть не менее  шаров(а).

Seotud sisu
Muud tegevused