Равносильность уравнений

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

Два уравнения, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если множества их решений совпадают (т. е. у них одни и те же решения, либо нет решений).

Примеры.

Уравнения 2(x – 5) = 6 и x – 5 = 3 равносильны, так как единственным корнем обоих уравнений является x = 8.

Уравнения x2 – 4 = 0 и 2x = 4 еравносильны, так как, хотя они имеют один общий корень x = 2, первое уравнение имеет еще и второй корень x = –2, не являющийся корнем второго уравнения.

Равносильными являются также, например, уравнения  \frac{1}{x-1}=0 и  x2 + 8 = 0, так как оба эти уравнения не имеют корней.

Равносильность уравнений обозначается символом ⇔. Например, можно записать 2(x – 5) = 6 ⇔ x – 5 = 3.

Равносильность уравнений сохраняется при следующих преобразованиях.

  1. Правую и левую части уравнения можно поменять местами:

f(x) = g(x) ⇔ g(x) = f(x)

  1. К обеим частям уравнения можно прибавить (или вычесть из них) одно и то же число или выражение, содержащее те же неизвестные и определенное во всех точках области определения исходного уравнения:

f(x) = g(x) ⇔ f(x) ± m(x) = g(x) ± m(x)

Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя их знаки на противоположные.

  1. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число:

f(x) = g(x) ⇔ cf(x) = cg(x), c ≠ 0

f(x) = g(x) ⇔ f(x) : c = g(x) : c, c ≠ 0

3x + 2 = 2x – 7  и  x = –9

x+\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}-2 и  x = –2

\frac{x+1}{x^2-1}=0 и x+1=0

(x −1)3 = 0  и  x − 1 = 0

  1. имеют один корень;
  2. имеют два корня;
  3. не имеют корней.

  1. умножить на выражение, содержащее неизвестное;
  2. разделить на выражение, содержащее неизвестное.

a = b |⋅ a;

a2 = ab (прибавим к обеим частям число –b2);

a2 – b2 = ab – b2;

(a + b)(a – b) = b(a – b) |: (a – b);

a + b = b или a + a = a или 2a = a или a=\frac{1}{2}a.

При решении заданий 133 – 135 мы встретились с такими преобразованиями, в результате которых изменяется множество решений исходного уравнения: корни пропадают, либо появляются новые корни. Значит, подобные преобразования не сохраняют равносильность уравнений.

Новые корни могут возникать при следующих преобразованиях уравнения:

  1. умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное;
  2. возведение обеих частей уравнения в четную степень;
  3. умножение обеих частей уравнения на 0.

Новые корни, появившиеся в ходе таких преобразований и не являющиеся корнями исходного уравнения, называются посторонними корнями. Чтобы исключить посторонние корни, необходимо выполнять проверку всех найденных корней, подставляя их в исходное уравнение.

Потеря корней уравнения может произойти в случае, когда обе части уравнения разделили на выражение, содержащее неизвестное.

Seotud sisu
Muud tegevused