Системы уравнений

Пример 1.

Решим способом подстановки систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y=3\\ 3x+y=5\end{array}\right.$$.

Для этого выразим переменную y из второго уравнения: y = 5 – 3x и подставим полученное выражение вместо y в первое уравнение. Получим: x² + 5 – 3x = 3 ⇔ x² – 3x + 2 = 0, откуда x₁ = 1 и x₂ = 2.

Соответствующие значения y найдем из уравнения y = 5 – 3x.

y₁ = 5 – 3 ⋅ 1 = 2 и y₂ = 5 – 3 ⋅ 2 = –1.

Таким образом, решениями системы будут две пары чисел $$ \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$$ и $$ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$$ или (1; 2) и (2; −1).

Проверка показывает, что эти пары действительно являются решениями данной системы уравнений.

Ответ: (1; 2), (2; −1).

Пример 2.

Решим систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}4x-2y=\mathrm{2,8}\\ 7x+4y=-\mathrm{2,6}\end{array}\right.$$ способом сложения.

Для этого сначала умножим обе части первого уравнения на 2 и затем сложим соответствующие части первого и второго уравнений:

$$ \begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}4x-2y=\mathrm{2,8} |·2\\ 7x+4y=-\mathrm{2,6}\end{array}\right.\\ \end{array}\iff \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}8x-4y=\mathrm{5,6}\\ 7x+4y=-\mathrm{2,6}\end{array}\right.\\ 15x =3\text{, откуда }x=\mathrm{0,2}\end{array}$$

Теперь подставим найденное значение x в любое из данных уравнений (естественно, в простейшее из них) и найдем значение y:

4 ⋅ 0,2 – 2y = 2,8 ⇔ –2y = 2,8 – 0,8 ⇔ y = –1.

Ответ: (0,2; −1).

Пример 3.

Решим графически систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x+3=3y\end{array}\right.$$ .

Для этогo построим в одной и той же системе координат графики функций, заданных этими уравнениями: y = x – 1; $\[ y=\frac{1}{3}x+1 \]$ (рис. 1.10). Решением системы уравнений будут координаты (3; 2) точки пересечения прямых.

Рис. 1.10

Ответ: (3; 2).