Дробные уравнения

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

Ответ: скорость лодки в стоячей воде равна  км/ч.

Чтобы решить эту задачу, нужно составить уравнение.

Пусть скорость движения лодки в стоячей воде равна x км/ч. Тогда на путь по течению ушло \frac{28}{x+3} часов, а на путь против течения \frac{28}{x-3} часов. Так как на всю поездку ушло 7 часов, то получим уравнение \frac{28}{x+3}+\frac{28}{x-3}=7.

Мы получили уравнение нового типа, содержащее неизвестное в знаменателе, так называемое дробное уравнение.

Уравнение, содержащее неизвестное в знаменателе, называется дробным уравнением.

Дробным будет, например, уравнение \frac{2}{x-3}=5, а уравнение \frac{x-5}{2}=7 дробным не является.

Для решения дробных уравнений есть различные способы.

  1. Чаще всего все члены такого уравнения переносят в одну часть уравнения (обычно в левую), приводят дроби к общему знаменателю и записывают в виде одной алгебраической дроби. Затем применяют признак равенства дроби нулю:

дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю и знаменатель отличен от нуля.

 ab=0 ⇔ a=0 и b≠0.

В соответствии с этим признаком приравнивают к нулю числитель дроби, решают полученное уравнение и исключают из полученного множества решений (корней) те, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Если дробное уравнение получено при решени задачи с конкретным содержанием, то нужно учитывать и вытекающие из условия задачи дополнительные ограничения. Например, при решении задач на вычисление размеров фигур, площади, скорости, длины пути и т. д. отрицательные значения корней не подходят в качестве ответа, и их нужно исключить.

  1. Другой способ решения дробных уравнений заключается в записи уравнения в виде пропорции \frac{a}{b}=\frac{c}{d} и использования основного свойства пропорции:

произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, т. е.
​ab=cd ⇔ ad = bc, где b≠0, d≠0.

Подчеркнем еще раз, что в случае дробного уравнения полученные корни нужно обязательно проверить. Те значения неизвестного, при которых знаменатель исходного уравнения обращается в нуль, не подходят в качестве корней. Это – так называемые посторонние корни.

Рассмотрим на примерах различные способы решения дробных уравнений.

Пример 1.

Решим полученное в задаче 156 дробное уравнение с помощью признака равенства дроби нулю. В уравнении \frac{28}{x+3}+\frac{28}{x-3}=7 перенесем все члены в левую часть и приведем их к общему знаменателю:

28x + 3+x - 328x - 3-x + 37x2 - 9=0

28x - 3 + 28x + 3 - 7x2 - 9x + 3x - 3=0

По признаку равенства дроби нулю получим два условия:

28x-3+28x+3-7x2-9=0   (1)x+3x-3≠0                                   (2)

Решим уравнение (1):

28x – 28 ⋅ 3 + 28x + 28 ⋅ 3 – 7x2 + 63 = 0
​–7x2 + 56x + 63 = 0
x2 – 8x – 9 = 0​
x1 = 9 ja x2 = –1​

Из условия (2) мы видим, что произведение (x + 3)(x – 3) равно нулю, если (x + 3) = 0, т. е. x = –3, а также если (x – 3) = 0, т. е. x = 3. Значит условие (2) дает нам x ≠ ±3.

Проверим, являются ли полученные значения x1 = 9 и x2 = –1 корнями исходного уравнения. Оба числа удовлетворяют условию (2), так как при этих значениях х произведение (x + 3)(x – 3) не равно нулю. Поэтому они являются корнями и исходного дробного уравнения. В то же время, число x2 = –1 не может быть решением задачи 156, так как лодка не может двигаться со скоростью –1 km/h?

Проверим корень x1 = 9 на соответствие условию задачи:

Vпо течению = 9 + 3 = 12 (км/ч)  и  tпо течению = \frac{28}{12}=2\frac{1}{3} (ч),

Vпротив течения = 9 – 3 = 6 (км/ч)  и  tпротив течения = \frac{28}{6}=4\frac{2}{3} (ч).

Поэтому вся поездка туда и обратно заняла: 2\frac{1}{3}+4\frac{2}{3}=7 (ч), что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость движения лодки в стоячей воде равна 9 км/ч.

Пример 2.

Решим дробное уравнение \frac{1}{x}=\frac{x-1}{2} с помощью основного свойства пропорции:

2 = x(x – 1)
x2 – x – 2 = 0​
x1 = –1 и x2 = 2​

Поскольку ни один из полученных корней не обращает в нуль знаменатель исходной дроби, то оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: x1 = –1, x2 = 2.

Пример 3.

Решим уравнение \frac{x}{x+4}-\frac{x}{x^2-16}=\frac{x}{x-4}.

Сначала разложим на множители второй знаменатель x2 – 16 = (x + 4)(x – 4).

\frac{x}{x+4}-\frac{x}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=\frac{x}{x-4}

\frac{x}{x+4}-\frac{x}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}-\frac{x}{x-4}=0

\frac{x\left(x-4\right)-x-x\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=0

Дробь равна нулю, если ее числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля:

x\left(x-4\right)-x-x\left(x+4\right)=0

x^2-4x-x-x^2-4x=0

-9x=0\ |\ :\left(-9\right)

x=0

Теперь проверим, не обращается ли в нуль какой-либо из знаменателей при х = 0. Этого не происходит, так как

0 + 4 = 4, 0 − 16 = −16 и 0 − 4 = −4.

Следовательно, х = 0 является корнем данного уравнения.

Ответ: x = 0.

\frac{3}{x-1}

\frac{x-1}{x-2}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{2x}{5\left(x+1\right)}

\frac{3x}{x^2-1}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 5
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{x+7}{x\left(x+3\right)}

\frac{2x+8}{\left(x-8\right)\left(x-5\right)}

  • –7
  • –3
  • –1
  • 0
  • 1
  • 3
  • –8
  • –5
  • –4
  • 4
  • 5
  • 8

\frac{3x+4}{x^2+1}

\frac{x^2-1}{x^2+x-2}

  • –4
  • –1,(3)
  • –1
  • 1
  • 1,(3)
  • 4
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{3}{x-1}

\frac{x-1}{x-2}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{2x}{5\left(x+1\right)}

\frac{3x}{x^2-1}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 5
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{x+7}{x\left(x+3\right)}

\frac{2x+8}{\left(x-8\right)\left(x-5\right)}

  • –7
  • –3
  • –1
  • 0
  • 1
  • 3
  • –8
  • –5
  • –4
  • 4
  • 5
  • 8

\frac{3x+4}{x^2+1}

\frac{x^2-1}{x^2+x-2}

  • –4
  • –1,(3)
  • –1
  • 1
  • 1,(3)
  • 4
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{x}{x-2}-\frac{3}{x}=1
x =

\frac{4}{3+x}+2=10
x =

2-\frac{2x+7}{x+2}+\frac{1}{x}=0
x =

\frac{3+x}{2+x}+\frac{2}{3}=0
x =

\frac{1}{x+x^2}-\frac{1}{x}=0

\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}=0

x-\frac{3}{x-1}=3

\frac{2}{x-2}-\frac{x}{2}=\frac{x}{x-2}

\frac{6}{x}+\frac{3}{x+2}=2

\frac{9-x}{2}+\frac{4}{x-2}=\frac{3x-3}{2}

7+\frac{1}{v-1}=\frac{v^2}{v-1}

\frac{1}{x-2}+3=\frac{3-x}{x-2}

\frac{x-7}{x-2}-1=0

\frac{8-x}{x-7}=\frac{1}{7-x}-1

\frac{8-x}{x-7}+\frac{1}{7-x}=-1

\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}

\frac{x}{x+5}-\frac{x+2}{2}=\frac{1}{5+x}

\frac{2x-5}{x-2}=\frac{3x-5}{x-1}

\frac{3x+4}{x+1}=x+2

\frac{2}{x-3}=\frac{6}{x\left(x-3\right)}

\frac{3x}{6-2x}-\frac{7-6x}{3x-x^2}+\frac{3}{2}=0

\frac{2x^2}{x+1}+1=\frac{2}{x+1}

\frac{2}{t-2}-\frac{t}{2}=\frac{t}{t-2}

\frac{2x+7}{x+2}=2+\frac{1}{x}

Ответ: эта дробь есть .

Ответ: первоначальная дробь равна , а полученная дробь –  .

1+\frac{45}{x^2-8x+16}=\frac{14}{x-4}

\frac{5}{u-1}-\frac{4}{u^2-2u+1}=3

\frac{10}{x^2-4x-5}=\frac{3}{x-5}-\frac{x}{x+1}

\frac{7}{y^2+y-12}=\frac{y}{y+4}+\frac{1}{y-3}

\frac{x^2-3}{2x^2+x-1}=\frac{3}{x+1}

\frac{x^2+4}{3x^2-x-2}=\frac{2}{x-1}

Seotud sisu
Muud tegevused