Задачи на составление дробных уравнений

Пример 1.

Если бы велосипедист проезжал за час на 2 км больше, то он затратил бы на путь длиной 72 км на 30 мин меньше. С какой скоростью двигался велосипедист?

1. Обозначим неизвестное буквой х, т. е. искомая скорость равна х км/ч.
2. Сведем данные задачи в таблицу.

1. Сравним выражения в последнем столбце таблицы. При движении с меньшей скоростью (действительная ситуация) затрачивается больше времени, значит, \frac{72}{x}>\frac{72}{x+2}.
2. Из условия задачи следует, что при езде с большей скоростью затрачивается на 30 мин, или \frac{1}{2} ч меньше времени. Поэтому мы получаем уравнение \frac{72}{x}-\frac{72}{x+2}=\frac{1}{2}.
3. Решим полученное дробное уравнение и проверим его корни на соответствие условию задачи.
   ​Корнями уравнения оказываются числа 16 и –18. Последний корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной. Скорость 16 км/ч оказывается решением задачи, так как на путь 72 км со скоростями 16 км/ч и 16 + 2 = 18 (км/ч) требуется соответственно 4,5 ч и 4 ч. Разность этих величин и есть 30 мин.

Ответ: скорость велосипедиста была 16 км/ч.

Пример 2.

Группа туристов из 30 человек решила распределиться по палаткам так, чтобы в каждой палатке было людей поровну. Оказалось, что если в каждую палатку поселить на одного человека больше, чем было запланировано, то одну из палаток можно будет использовать для хранения снаряжения. Сколько палаток было у группы туристов?

1. Обозначим неизвестное буквой x, т. е. всего было х палаток.
2. Сведем данные задачи в таблицу.

1. Сравним записанные в таблицу выражения, исходя из текста задачи. Так как во втором случае людей в каждой палатке будет больше, то

\frac{30}{x-1}>\frac{30}{x}.

1. Так как число «жителей» в палатке отличается в рассматриваемых случаях на 1, то получим уравнение

\frac{30}{x-1}-\frac{30}{x}=1.

1. Решим уравнение и проверим его корни на соответствие условию задачи. Из найденных корней 6 и –5 условию задачи соответствует только число 6.

Ответ: у группы было 6 палаток.

Пример 3.

Шура и Мура решили независимо друг от друга скопить некоторую сумму денег. Каждая из них может каждый месяц откладывать определенное количество денег. При этом Шура может накопить назначенную сумму на 10 месяцев быстрее, чем Мура. Если бы они копили вместе, то накопили бы нужную сумму уже за год. Сколько месяцев потребовалось бы Шуре, чтобы накопить эту сумму в одиночку?

1. Обозначим искомое буквой х: пусть Шуре требуется х месяцев, чтобы накопить нужную сумму.
2. Составим таблицу.

1. Составим уравнение. Так как, накапливая деньги вместе, наши героини соберут нужную сумму за 12 месяцев, то сумма соответствующих частей, которые каждая накапливает за год, равна 1. Составим уравнение \frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1.
2. Решим уравнение и проверим соответствие его решений условию задачи: корнями уравнения являются 20 и –6, из которых решением задачи будет 20 (мес.).

Ответ: в одиночку Шура накопит нужную сумму за 20 месяцев.

В данном примере мы встретились с так называемой задачей на совместную работу (вместе выполняют некоторую работу, накапливают что-нибудь, заполняют бассейн через две трубы и т. п.). В таких задачах для составления уравнения нужно выразить, какая часть работы выполняется в единицу времени. Например, если в одиночку рабочий выполнил бы заданную работу за 5 дней, то за день он должен выполнять \frac{1}{5} часть этой работы.