Синус, косинус и тангенс острого угла

Курс „Тригонометрия”
Рис. 2.2

Из курса основной школы мы знаем, как найти синус, косинус и тангенс острого угла. Если α – острый угол прямоугольного треугольника ABC (рис. 2.2), то эти величины выражаются так:

sin α=ac, cos α=bc, tan α=ab.

Cинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Так как а, b и с – это стороны прямоугольного треугольника, то из определений синуса, косинуса и тангенса следует, что

0 < sin α < 1,     0 < cos α < 1,     0 < tan α.

Пример 1.

Катет прямоугольного треугольника b = 4 см и гипотенуза c = 5 см. Найдем sin α, cos α и tan α.

Катет а найдем по теореме Пифагора: a2 + 42 = 52, откуда

a=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3.

Согласно определениям получим:

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}=0,6, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c}=\frac{4}{5}=0,8\ и \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b}=\frac{3}{4}=0,75.

В прямоугольном треугольнике α + β = 90°, и потому говорят, что угол α дополняет угол β до 90°, а угол β дополняет угол α до 90°. Говорят также, что углы α и 90° – α являются дополнительными углами, а точнее, дополняющими друг друга до 90°.

Так как (рис. 2.2)

\sin\mathrm{\beta}=\frac{b}{c}=\cos\mathrm{\alpha}, \cos\mathrm{\beta}=\frac{a}{c}=\sin\mathrm{\alpha}, \tan\mathrm{\beta}=\frac{b}{a}=\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{1}{\tan\mathrm{\alpha}}, то

sin(90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sin α, tan(90°-α)=1tan α.

Полученные формулы называются формулами дополнительного угла.

Пример 2.

Упростим выражение sin 36°25' + sin 60° – tan 80° ⋅ tan 10° – cos 53°35' – cos 30°.

Так как 36°25' + 53°35' = 90°, то мы имеем дело с синусом и косинусом дополнительных углов, которые равны по модулю, но взяты с противоположными знаками. Поэтому их можно взаимно уничтожить. По той же причине взаимно уничтожаются второе и пятое слагаемые. Поскольку и в третьем слагаемом углы являются дополнительными, то получим, что

–tan 80° ⋅ tan 10° = -\tan80°\ ·\ \frac{1}{\tan80\degree} = –1, 

что и будет упрощенным значением всего выражения.

a = 12 см, b = 16 см.

Ответ: sin α = ; cos α = ; tan α = .

b = 24 дм, c = 25 дм.

Ответ: sin α = ; cos α = ; tan α = .

a = 4 м, c = \sqrt{17} м.

Ответ: sin α = ; cos α = ; tan α = .

a = 24 см, b = 8 см.

Ответ: sin α = ; cos α = ; tan α = .

Ответ: sin α = ; cos β = .

Данный угол

Дополнительный угол

α = 30°

β = 

β = 45°

α = 

α = 60°50'

β = 

α = 56'

β = 

β = 4°25'

α = 

α = 67°28'

β = 

Ответ:  tan α = ; tan (90° – α) = .

Ответ:  tan (90° – α) = .

Ответ:  tan 68°12' = .

Гипотенуза прямоугольного треугольника составляет \frac{7}{3} прилежащего к углу α катета. Найдите точные значения cos α и sin β.

Ответ:  cos α = , sin β = .

Рис. 2.3

3\tan\mathrm{\alpha}\cdot\tan\mathrm{\beta}-\sin\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\beta}-\cos\mathrm{\alpha}\cdot\sin\mathrm{\beta} = 

Seotud sisu
Muud tegevused