Курс „Тригонометрия”
Найдем сначала синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°.
Для этого построим равносторонний треугольник ABC со стороной a (рис. 2.4). Проведем высоту h, которая разбивает равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника, в которых один из углов равен 30°. Из треугольника ABD получим, что AD = 0,5a и
По определениям синуса, косинуса и тангенса острого угла:
Так как в прямоугольном треугольнике ABD второй острый угол равен 60°, то
Пример 1.
Найдем значение выражения
Учитывая только что полученные результаты, имеем:
Найдем теперь синус, косинус и тангенс угла 45°. Воспользуемся равнобедренным прямоугольным треугольником, катет которого равен a (рис. 2.5). Тогда α = β = 45° и гипотенуза
Поэтому
Полученные результаты представим в виде таблицы:
Пример 2.
Найдем угол β прямоугольного треугольника, если катет а = 5 м и гипотенуза с = 10 м. Так как sin β = b : c, то длину катета b найдем по теореме Пифагора:
Теперь получим, что
Из таблицы значений синуса, косинуса и тангенса видно, что при увеличении угла α увеличиваются и значения синуса и тангенса угла, так как
при увеличении острого угла α значения sin α и tan α также увеличиваются, а значения cos α уменьшаются.
Пример 3.
Что больше: 1) sin 30° или sin 50°, 2) cos 10° или sin 60°?
- Так как 50° > 30°, то sin 50° > sin 30°;
- cos 10° = sin 80° и 80° > 60°, значит, cos 10° > sin 60°.
Зная одно из значений: либо sin α, либо cos α, либо tan α, можно построить угол α.
Пример 4.
Построим углы α и β, если: 1) cos α = 0,375 и 2) tan β = 1,2.
- Так как
\cos\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}=0,375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8} , то нужно построить прямоугольный треугольник, в котором прилежащий к углу α катет равен 3 единицам длины, а гипотенуза – 8 единицам длины. Для этого начертим прямой угол ABC (рис. 2.6), отложим от его вершины В 3 единицы длины (длина катета) и из полученной точки А, как из центра, проведем дугу окружности с радиусом 8 единиц до пересечения со второй стороной угла. Получим точку С. В полученном прямоугольном треугольнике АВС угол α и будет искомым, поскольку sin α = .
 Рис. 2.6 | ||||||
- Так как
\tan\mathrm{\beta}=\frac{b}{a}=1,2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5} , то достаточно построить прямоугольный треугольник, катеты которого имеют соответственно 6 и 5 единиц в длину. Для этого начертим прямой угол ABC (рис. 2.7) и отложим на его сторонах от вершины В катеты длиной 6 и 5 единиц. Получим точки A, С и прямоугольный треугольник АВС, в котором искомый угол β расположен при вершине C.
 Рис. 2.7 | ||||||
α = | |
α = | |
α = | |
α = |
