Курс „Тригонометрия”
Из сказанного выше вытекает следующий важный вывод: величины sin α, cos α и tan α зависят только от величины острого угла α, а не от того, углом какого конкретного и какой величины прямоугольного треугольника является этот угол.
Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c является лишь вспомогательным средством для нахождения величин sin α, cos α и tan α.
До появления калькуляторов в школе пользовались таблицами, в первом столбце которых были величины угла α, а в других столбцах – соответствующие значения синуса, косинуса и тангенса.
Различные системы измерения углов
В разных сферах деятельности используются различные системы измерения углов. В повседневной школьной математике пользуются градусной мерой. При включении калькулятора он обычно сразу находится в режиме работы с градусами. На эту систему указывает на экране буква D или сокращение DEG от английского слова degree – градус. Если на экране высвечивается символ GRAD или G, то это указывает на десятичную (или центезимальную) градусную систему, в которой прямой угол разделен на 100 гонов, т. е. 90° = 100g. Для переключения с одной системы измерения на другую калькулятор часто имеет клавишу DRG, на которую нужно нажимать до тех пор, пока на экране не появится D или DEG. Калькуляторы могут иметь и другие возможности для перехода к другим системам измерения. Например, если на экране калькулятора смартфона видна клавиша RAD, то на нее нажимать не нужно – калькулятор уже включен в режим работы с градусной мерой (режим DEG). Поэтому нужно разобраться в том, как работает Ваш калькулятор.
В настоящее время соответствующие значения синуса, косинуса и тангенса заданного угла α находят с помощью калькулятора, на котором есть клавиши sin, cos и tan. Однако использование этих клавиш на калькуляторах разных марок и выпущенных в разные времена может быть различным. Рассмотрим такие случаи на примерах.
На калькуляторах старых типов величину угла α требовалось ввести в калькулятор в виде десятичной дроби, которая состоит из целых градусов и десятичных долей градуса. После этого нажимают на сответствующую клавишу sin, cos или tan.
Пример 1.
Найдем с помощью калькулятора sin 12°37′.
Для этого преобразуем угол в градусы либо по схеме 12 + 37 ÷ 60 = либо при наличии клавиши ° ' '' по схеме 12 ° ' '' 37 ° ' ''. На экране высветится 12,616667 – это величина угла в градусах. После этого нажмем на клавишу sin и получим, что значение sin 12°37′ равно 0,2184271.
В ответе запишем 0,2184, так как при меньшем числе десятичных знаков при обратном вычислении угла мы получили бы слишком неточный результат. Например, если взять в качестве значения синуса число 0,218, то вместо верного угла α = 12°37′ получим 12°35′, что дает слишком большую погрешность в минутах.
Поэтому дадим следующую рекомендацию в интересах точности:
значения sin α, cos α и tan α будем всегда находить с четырьмя знаками после запятой.
Новейшие калькуляторы могут иметь два новшества, которые касаются рассматриваемой здесь темы.
- Может иметься клавиша D.MS, о которой говорилось в последнем абзаце перед примерами в разделе 2.1.1. Эта клавиша позволяет преобразовать в градусы угол, выраженный в градусах и минутах.
- Числа и операции (действия) на таких калькуляторах вводятся в том же порядке, в каком они записываются. Под конец нужно нажать на клавишу = или ENTER. Например, чтобы найти
\sqrt{5} , действуем по схеме √ 5 =, но при вычислении 7,42 – по схеме 7,4 x2.
Пример 2.
Предположим, что на нашем калькуляторе ввод чисел и команд производится в том же порядке, в каком они записываются на бумаге. Тогда для нахождения величины sin 12°37′ у нас есть две схемы:
sin ( 12 + 37 ÷ 60 ) ENTER.
sin ( 12 ° ' '' 37 ° ' '' ) ENTER.
Умение находить синус, косинус и тангенс любого острого угла позволяет найти неизвестные стороны и острый угол прямоугольного треугольника по известному острому углу и одной из сторон этого треугольника.
Пример 3.
Найдем второй острый угол и катеты прямоугольного треугольника, в котором острый угол β = 60° и гипотенуза c = 24 cм (рис. 2.8).
Так как α + β = 90°, то α = 90° – 60° = 30°. Из равенства sin 60° = b : 24 найдем катет
Катет а можно было бы найти и из равенства sin 30° = a : 24.
Ответ: угол α = 30°, катеты a = 12 см и
Пример 4.
В прямоугольном треугольнике угол α = 23°35′ и катет а = 20 см. Найдем второй острый угол β, катет b и гипотенузу с.
Угол β = 90° – 23°35' = 66°25'.
Так как tan 23°35' = 20 : b, то b = 20 : tan 23°35' ≈ 20 : 0,4365 ≈ 45,82 (см).
Из равенства sin 23°35' = 20 : c получим, что c ≈ 20 : 0,4001 ≈ 49,99 (см).
Ответ: β = 66°25', b ≈ 45,8 см, c ≈ 50,0 см.
