Синус, косинус и тангенс произвольного угла

Курс "Тригонометрия"

Мы знаем, что синус, косинус и тангенс острого угла α определяются с помощью прямоугольного треугольника, один из углов которого равен α (рис. 2.29). В этом случае

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c}, \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b}.

Рис. 2.29

Поместим прямоугольный треугольник ABC на координатную плоскость так, как показано на рисунке 2.30.

Рис. 2.30

Учитывая длины катетов, мы можем записать координаты точек В и С. Для нас важно только то, что вместо прямоугольного треугольника АВС достаточно рассмотреть на координатной плоскости лишь угол α, на конечной стороне которого взята точка В(b; a). Определение синуса острого угла \sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c} означает теперь, что синус угла α равен отношению ординаты (а) точки В, взятой на конечной стороне угла, к расстоянию (с) от этой точки до начала координат.

Сказанное справедливо и для любой другой точки на конечной стороне угла α.

Действительно, выбрав на этой стороне какую-нибудь другую точку Е(d; g) (см. рис. 2.31), получим подобные прямоугольные треугольники AEF и ABC (почему?). Следовательно, \frac{g}{a}=\frac{AE}{c}, откуда \frac{g}{AE}=\frac{a}{c}, т. е. также получим, что \frac{g}{AE}=\sin\mathrm{\alpha}.

Рис. 2.31

Аналогично (рис. 2.31) для косинуса и тангенса угла α получим: \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c}=\frac{AF}{AE} и \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b}=\frac{g}{AF}.

Пример 1.

Найдем синус, косинус и тангенс острого угла α, если известно, что на конечной стороне этого угла расположена точка В(7,8; 10,4) (рис. 2.30).

По теореме Пифагора найдем OB: c2 = 7,82 + 10,42 = 169, откуда c =13.

Теперь получим, что \sin\mathrm{\alpha}=\frac{10,4}{13}=0,8, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{7,8}{13}=0,6 и \tan\mathrm{\alpha}=\frac{10,4}{7,8}\approx1,3333.

Оказывается, что для определения синуса, косинуса и тангенса произвольного угла можно воспользоваться такими же правилами, как и в случае острого угла. Для этого любой угол α нужно расположить на координатной плоскости так, чтобы его вершиной было начало координат О, а начальная сторона совпадала с положительной частью оси абсцисс (рис. 2.32). Обозначим произвольно выбранную точку на конечной стороне угла буквой М, а ее координаты – через х и у, т. е. М(х; у). Расстояние от этой точки до начала координат обозначим буквой r, т. е. ОМ = r. Определяемые соотношения приобретут теперь вид

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{y}{r}, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{x}{r}, \tan\mathrm{\alpha}=\frac{y}{x}.

Рис. 2.32

Теперь получим обобщенные определения тригонометрических функций:

синусом угла α называется отношение ординаты произвольной точки, взятой на конечной стороне угла, к расстоянию от этой точки до начала координат, т. е. (рис. 2.32)

sinα=yr;

косинусом угла α называется отношение абсциссы произвольной точки, взятой на конечной стороне угла, к расстоянию от этой точки до начала координат, т. е.

cosα=xr;

тангенсом угла α называется отношение ординаты к абсциссе, вычисленное для произвольной точки, расположенной на конечной стороне угла, т. е.

tanα=yx.

Расстояние r от точки М до начала координат О находят по теореме Пифагора: r2 = x2 + y2, поскольку во всех четырех случаях, изображенных на рисунке 2.32, можно построить прямоугольный треугольник, для которого справедливо это равенство.

Пример 2.

Пусть на конечной стороне угла α расположена точка M(8; –6). Тогда

r=OM=\sqrt{8^2+\left(-6\right)^2}=10 и

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{-6}{10}=-0,6, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{8}{10}=0,8, \tan\mathrm{\alpha}=\frac{-6}{8}=-0,75.

Значение \tan\mathrm{\alpha}=\frac{y}{x} не существует, если х = 0, так как на 0 делить нельзя. В этом случае точка М расположена на оси Оу, и потому конечная сторона угла α совпадает с положительной или отрицательной частью оси Оу. Такой угол записывается в виде α = (2k + 1) ⋅ 90° или, другими словами, является нечетно кратным углу 90°. Следовательно,

значение tan α не существует, если α = (2k + 1)90°, k ∈ Z.

Рис. 2.33

Так как конечные стороны углов α и α + n ⋅ 360° (n ∈ Z) совпадают (рис. 2.33), то

sin (α + n · 360°) = sin α,

cos (α + n · 360°) = cos α,

tan (α + n · 360°) = tan α.

Пример 3.

Найдем: 1) sin 2205°; 2) cos 1305°; 3) tan (−1740°).

  1. sin 2205° = sin (45°+ 6 · 360°) = sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,5\sqrt{2}.
  2. cos 1305° = cos (225° + 3 · 360°) = cos 225°. Значение cos 225° найдем с помощью калькулятора: cos 1305° = cos 225° ≈ −0,7071.
  3. Так как −1704° = 96° − 5 · 360°, то tan (−1704°) = tan (96° − 5 · 360°) = tan 96° ≈ −9,5144.

Можно решить и по-другому: прочитав равенство tan (α + n · 360°) = tan α справа налево, мы видим, что к углу α можно прибавить целое кратное угла 360°. Чтобы сразу получить положительный угол, прибавим к углу –1704° пятикратный полный угол, т. е. 5 · 360° = 1800°.

Получим: tan (−1704°) = tan (1800° −1704°) = tan 96° ≈ −9,5144.

Рассмотрим теперь, как зависят знаки значений sin α, cos α и tan α от того, какой четверти принадлежит угол α.

Поскольку \sin\mathrm{\alpha}=\frac{y}{r} и \cos\mathrm{\alpha}=\frac{x}{r}, причем r > 0, то знак sin α зависит только от знака y, а знак cos α – только от знака х. Следовательно,

для углов I и II четвертей sin α > 0,
для углов III и IV четвертей sin α < 0,
​для углов I и IV четвертей cos α > 0,
для углов II и III четвертей cos α < 0.

Сказанное схематически изображено на рисунках 2.34 и 2.35.

Рис. 2.34
Рис. 2.35
Рис. 2.36

В равенстве \tan\mathrm{\alpha}=\frac{y}{x} знаки tan α определяются знаками координат х и у точки М (см. рис. 2.32).

Правило знаков величины tan α представлено на рисунке 2.36, иначе говоря,

в случае углов I и III четвертей tan α > 0,
в случае углов II и IV четвертей tan α < 0.

Пример 4.

  1. sin 300° < 0 и cos 300° > 0, так как угол 300° принадлежит IV четверти;
  2. tan 3800° > 0, так как угол 3800° = 200° + 10 · 360° принадлежит III четверти.

Данная точка

sin α

cos α

tan α

K(0,75; 1)

L(–4; 3)

M(–5; –12)

Данная точка

sin α

cos α

tan α

N(2,8; –1,4)

R(–35; –28)

S(–40; 9)

Данная точка

sin α

cos α

tan α

P(6; 0)

A(0; 5)

E(–2; –1)

      • sin 743°
      • cos 108°
      • sin 185°
      • cos (–400°)
      • cos 300°
      • sin (–200°)
          • sin 3648°
          • cos 3648°
          • tan (–60°)
          • tan 500°
          • cos (–100°)
          • tan 648°

          sin α < 0 и cos α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          sin α > 0 и tan α > 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          cos α > 0 и tan α > 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          tan α > 0 и sin α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          sin α > 0 и cos α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          tan α < 0 и cos α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV
          Seotud sisu
          Muud tegevused